Le noyau de Dirichlet,
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est 2π fois la somme d'ordre n du développement en séries de Fourier d'une «fonction» de période 2π donnée par
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où δ est la fonction delta de Dirac, qui n'est pas vraiment une fonction, dans le sens d'application d'un ensemble vers un autre, mais est plutôt une «fonction généralisée», aussi appelée une distribution. En d'autres termes, le développement en série de Fourier de cette «fonction» s'écrit
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Cette «fonction périodique delta» est l'élément neutre pour le produit de convolution défini sur l'ensemble des fonctions de période 2π par
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Autrement dit,
- pour toute fonction f de période 2π,
Le produit de convolution de Dn avec n'importe quelle fonction f de période 2π est égal à la somme d'ordre n du développement en série de Fourier de f, i.e., nous avons
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où
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est le kème coefficient de Fourier de f.
L'identité trigonométrique qui apparaît au début de l'article peut être établie de la manière suivante: tout d'abord rappelons que la somme partielle au rang n d'une série géométrique est égale à
- pour r≠1,
Le premier terme est a; la raison (facteur commun par lequel chaque terme est multiplié pour obtenir le suivant) est égale à r; le nombre de termes est n+1. En particulier, nous avons
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L'expression à gauche du symbole égal nous incite à penser que la somme est une fonction symétrique de r et 1/r. Mais dans l'expression à droite du symbole égal, il est difficile de diagnostiquer une telle symétrie par rapport à ces deux quantités. Le remède est de multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur par r-1/2, pour obtenir
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Dans le cas où r = eix nous avons:
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et alors «-2i» disparaît.
