Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π est le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Il est appelé aussi la constante d'Archimède.

Pi est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas le rapport de deux nombres entiers naturels. L'irrationalité de π a été démontrée en 1761 par Johann Heinrich Lambert. En fait, ce nombre est transcendant, ce qui a été prouvé par Ferdinand Lindemann en 1882. Ceci signifie qu'il n'existe pas de polynôme à coefficients entiers ou rationnels dont π soit une racine. Il en résulte qu'il est impossible d'exprimer π avec un nombre fini d'entiers, de fractions rationnelles et de leurs racines.

La transcendance de π établit l'impossibilité de résoudre le problème de la quadrature du cercle : il est impossible de construire, à l'aide de la règle et du compas seulement, un carré dont la surface est rigoureusement égale à la surface d'un cercle donné. La raison en est que les coordonnées de tous les points constructibles à la règle et au compas sont des nombres algébriques particuliers.

Table of contents

1 Formules incluant π 2 Calcul de la valeur de pi 3 Questions ouvertes 4 De la nature de π 5 Livres 6 Liens externes

Formules incluant π

Les formules intéressantes incluant π sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathématiques et des sciences. En voici quelques-unes couramment utilisées:

Géométrie:

Circonférence d'un cercle de rayon r: C = 2 π r

Aire d'un cercle de rayon r: A = π r²

Aire d'une ellipse de semi-axes a et b: A = π ab

Volume d'une sphère de rayon r: V = (4/3) π r³

Surface d'une sphère de rayon r: A = 4 π r²

Angles: 180 degrés sont équivalents à π radians

(formule de Leibniz)

(Wallis)

(Euler)

(formule de factorielle de Stirling)

(Identité d'Euler, aussi appelé "La formule la plus remarquable au monde")

Théorie des nombres:

La probabilité que deux entiers choisis au hasard soient premiers entre eux vaut 6/π².

Le nombre moyen de façons d'écrire deux entiers positifs comme la somme de deux carrés parfaits (l'ordre compte) est π/4.

presque partout sur [0, 1] où les x_i sont des itérés du plan logistique pour r=4.

(Principe d'incertitude d'Heisenberg)

(Équation du champ d'Einstein de la relativité générale)

Liu Hui a calculé π comme 3,141014 (incorrect à la troisième décimale) en 263 et suggéré que 3,14 était une bonne approximation.

Ludolph van Ceulen (aux alentours de 1600) a calculé les 35 premières décimales. Il fut si fier de son exploit qu'il demanda à ce que le nombre soit écrit sur sa tombe.

Le mathématicien slovène Jurij Vega calcula en 1789 les 140 premières décimales π parmi lesquelles 137 étaient correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliora la formule que John Machin avait trouvée en 1706 et sa méthode est toujours mentionnée aujourd'hui.

Aucune des méthodes mentionnées ci-dessus ne peut servir d'approximation efficace de π. Pour un calcul rapide, on peut utiliser une formule comme celle de Machin

(5+i)⁴ · (-239 + i) = -114244-114244 i.

Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein; l'algorithme de Salamin-Brent, inventé en 1976 a aussi été utilisé pour de très grands nombres de décimales.

On peut voir 1 000 000 de décimales de π et de 1/π sur le Projet Gutenberg (voir liens externes). Le record actuel (décembre 2002) est de 1 241 100 000 000 de décimales, calculées en septembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi à 64 noeuds, avec 1 Téraoctet de mémoire centrale, qui pouvait effectuer 2 000 milliards d'opérations en virgule flottante par seconde, soit près de deux fois plus que pour le précédent record (206 milliards de décimales); les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela:

(K. Takano, 1982)

(F. C. W. Störmer, 1896)

En 1996 David H. Bailey, en collaboration avec Peter Borwein et Simon Plouffe, ont découvert une nouvelle formule de π une somme infinie:

D'autres formules ont été utilisées pour calculer π dont:

(Ramanujan)

(David et gregory Chudnovsky )

Bailey et Crandall ont montré en 2000 que l'existence de la formule Bailey-Borwein-Plouffe ci-dessus et de formules similaires implique la normalité en base 2 de π.

De la nature de π

En géométrie non euclidienne, la somme des angles d'un triangle peut être supérieure ou inférieure à π, et le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre peut aussi être différent de π. Cela ne change pas la valeur de π, mais cela affecte les formules dans lesquelles ce nombre apparaît. En particulier, la forme de l'Univers n'affecte pas la valeur de π : c'est une constante mathématique, pas une valeur physique.

Livres

• Le fascinant nombre π, J.P. Delahaye, Éditions Belin, Pour la Science.