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Probabilité vient du Latin probare (prouver, ou tester). Le mot probable signifie «peut se produire» dans le cas de futures éventualités, ou «certainement vrai», «vraisemblable» dans le cas d'inférences de l'évidence. (Voir également la théorie des probabilités)
Ce que les mathématiciens appellent probabilité est la théorie mathématique que nous utilisons pour décrire et quantifier l'incertain. Dans un plus large contexte, (voir les interprétations de la probabilité) le mot probabilité est utilisé avec d'autres soucis à l'esprit.
L'incertitude peut naître de notre ignorance, peut être due à un embrouillement ou une incompréhension, ou provoquée par l'aspect aléatoire essentiel de la nature. Dans tous les cas, nous mesurons l'incertitude des événements sur une échelle de zéro (pour les événements impossibles) à un (pour les événements certains ou non incertains).
Les axiomes des probabilités forment les fondements de la théorie des probabilités. Le calcul d'une probabilité peut souvent être déterminé par l'utilisation de la combinatoire ou en appliquant directement les axiomes. Les applications des probabilités incluent aussi les statistiques, qui sont habituellement basées sur l'idée de distribution de probabilité et le théorème de la limite centrale.
L'idée de probabilité est le plus souvent séparée en deux concepts:
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2 Formalisation |
Tandis que l'existence de jeux de hasard montre qu'il y a eu un vif intérêt à calculer approximativement une probabilité, les descriptions mathématiques exactes d'usage dans ces types de problèmes virent le jour beaucoup plus tard.
Pour donner un sens mathématique à une probabilité, considérez une pièce de monnaie que vous lancez. Intuitivement, la probabilité d'obtenir face à n'importe quel lancer de la pièce de monnaie est égale à 1/2; mais cette affirmation seule manque de rigueur mathématique - alors que nous attendons qu'une pièce de monnaie lancée 10 fois de suite amène 5 faces et 5 piles, il n'y a aucune garantie pour que cela se produise; il est possible par exemple d'obtenir 10 faces de suite. Que signifie dans ce cas le rapport 1/2 dans ce contexte ?
Une approche est d'utiliser la loi des grands nombres. Dans ce cas, nous supposons que nous effectuons un certain nombre de lancers d'une pièce, chaque lancer de la pièce étant indépendant - ce qui signifie que l'issue de chaque lancer n'est pas affectée par le lancer précédent.
Si nous effectuons N lancers de la pièce et que NH représente le nombre de fois où la pièce donne face, alors nous pouvons, pour n'importe quel N, considérer la proportion NH/N.
À mesure que N devient de plus en plus grand, nous nous attendons dans notre exemple à ce que le rapport NH/N devienne de plus en plus proche de 1/2. Cela nous suggère de définir la probabilité P(H) d'obtenir face comme étant la limite, quand N tend vers l'infini, de la suite des proportions:
L'aspect de cette approche intuitive de la probabilité est parfois troublant quand il est appliqué à des situations du monde réel. Par exemple, dans la pièce Rosencrantz and Guildenstern are Dead de Tom Stoppard, un acteur lance une pièce qui donne répétitivement face maintes et maintes fois, disons une centaine de fois. Il n'arrive pas à décider si cet événement est seulement le fruit du hasard - après tout, cela est possible (bien que peu probable) qu'une pièce «honnête» donne ce résultat - ou si il doit en conclure que la pièce est truquée.
Une contribution de la probabilité bayésienne était de fournir une justification philosophique qui nous permette de déduire des probabilités (selon la définition mentionnée ci-dessus) d'une série d'observations.
En général, les probabilités intéressantes ne concernent pas seulement des résultats discrets comme dans le jeu de pile ou face, mais également des résultats continus.
En théorie des probabilités, un événement est un sous-ensemble «mesurable» d'un «univers» (ou ensemble des «possibles»). Les «événements» sont des objets auxquels sont associées des probabilités. Une probabilité est une application d'un ensemble d'événements à valeurs dans le segment [0, 1]. Des probabilités doivent être associées aux événements de telle manière que pour des événements deux à deux disjoints (c'est-à-dire, d'intersection deux à deux vide) A1, A2, A3 ... , la probabilité de leur union est la somme de leurs probabilités, ou, avec les notations mathématiques,
Nous comprenons généralement que la valeur 0 représente des événements impossibles, alors que le nombre 1 représente au contraire des événements certains (bien qu'il y ait des interprétations plus avancées de la probabilité qui emploient des définitions plus précises). Les valeurs entre 0 et 1 sont des mesures de la probabilité de la réalisation de quelques événements.
En langage courant, ces nombres sont souvent exprimés comme des fractions ou pourcentages, et doivent être convertis sous forme de nombres à virgule, afin d'effectuer des calculs avec ceux-ci.
Par exemple, si deux événements sont tous deux équiprobables, comme obtenir pile, ou obtenir face en lançant une pièce de monnaie, nous exprimons la probabilité de chaque événement comme étant «1 sur 2» ou «50%» ou encore «1/2», où le numérateur de la fraction est le nombre de réalisations de l'événement cible et le dénominateur est le nombre total des possibles relatifs à tous les événements. Pour déterminer la probabilité, nous devons effectuer une division et l'écrire sous la forme «0,5».
D'autres façons pour exprimer les probabilités utilisent le mot «chance»; il y a plusieurs formulations qui font intervenir la chance :
Une des notions les plus importantes en probabilité est celle de variable aléatoire. Une variable aléatoire est une application qui à un résultat possible de l'expérience associe une valeur. Une variable aléatoire va donc prendre telle ou telle valeur suivant le résultat obtenu; et ce ne sont pas les valeurs possibles de la variable, ni la valeur qu'elle prend une fois que l'on connaît le résultat de l'expérience qui sont aléatoires, mais la valeur qu'elle va prendre avant d'avoir effectué l'expérience. Les variables aléatoires furent introduites à l'origine pour représenter un gain. Par exemple effectuons l'expérience suivante, lançons une pièce de monnaie et suivant que le résultat est pile nous gagnons dix euros, ou face nous perdons un euro. Soit G la variable aléatoire qui prend la valeur 10 lorsque nous obtenons pile et la valeur 1 lorsque nous obtenons face. G représente le gain à l'issue d'un lancer de la pièce.
La somme des probabilités de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire valant un, ces probabilités sont en quelque sorte réparties sur ces différentes valeurs. On peut représenter cette répartition par un diagramme en bâton. Toute relation qui établit correspondance entre les valeurs prises par une variable et leur probabilité s'appelle une distribution de probabilité . Il y a plusieurs distributions discrètes importantes, telles que la distribution uniforme discrète, la distribution de Poisson, la distribution binomiale, la distribution binomiale négative et la distribution de Maxwell-Maxwell-Boltzmann.
Voir l'article loi de probabilité
Beaucoup de problèmes de probabilités se ramènent à un calcul de dénombrement. Le plus souvent, la difficulté pour calculer des probabilités se situe dans la détermination du nombre de cas possibles, du nombre de cas favorables à la réalisation d'un événement ou du nombre de réalisations d'un événement.
Il peut être aussi particulièrement difficile de tirer des conclusions signicatives à partir des probabilités calculées. Une énigme amusante de probabilité, le problème de Monty Hall met en evidence certains pièges.
Pour en apprendre plus sur les fondements de la théorie des probabilités, voyez l'article sur les axiomes des probabilités et l'article sur le théorème de Bayes qui explique l'utilisation des probabilités conditionnelles.
Voir aussi:
induction de Solomonoff; épistémologie
Probabilité en mathématiques
Dans la pratique, nous ne pouvons bien sûr pas lancer une pièce une infinité de fois; aussi en général cette formule s'applique aux situations dans lesquelles nous avons a priori déjà assigné, à une issue particulière, une probabilité (dans ce cas, nous avons supposé que la pièce était «honnête» et donc que la probabilité d'obtenir face devait être égale à 1/2). La loi des grands nombres dit alors que, pour une probabilité P(H) donnée, et n'importe quel réel strictement positif ε arbitrairement petit, il existe un nombre n tel que pour tout N> n on ait,
En d'autres termes, en disant que «la probabilité d'obtenir face est égale à 1/2», nous voulons dire que, si nous lançons notre pièce assez souvent, éventuellement le rapport du nombre de faces par le nombre total de lancers deviendra arbitrairement proche de 1/2; et restera au moins aussi proche de 1/2 aussi longtemps que nous continuerons à effectuer des lancers supplémentaires de la pièce.Formalisation
Dans le cas particulier d'une «distribution de probabilité discrète» l'univers est un ensemble de résultats à chacun desquels un nombre positif est associé en tant que sa probabilité. Les singletons sont des «événements élémentaires». Un des plus simples univers discrets est un ensemble fini , à chaque élément duquel, la même probabilité 1/n est associée. Un exemple d'univers qui n'est pas discret est le segment [ 0, 1 ]. À tout sous-intervalle ]a,b[ de [0, 1] la longueur de ]a, b[ est associée comme probabilité de ce sous-intervalle. La probabilité associée à n'importe quel singleton est dans ce cas 0.Représentation et interprétation des valeurs de probabilité
Distributions, lois
Remarques sur les calculs de probabilité