Approche vulgarisée
La manière la plus simple de se représenter le produit de convolution consiste à considérer la fonction de Dirac δa(x) ; cette fonction vaut 0 si x ≠ a, et son intégrale vaut 1. Ceci peut sembler à première vue bizarre, on peut l'imaginer comme la limite d'une suite de fonctions, des courbes en cloche ou des rectangles ayant toutes la même surface 1, mais de plus en plus fine (donc de plus en plus hautes) ; lorsque la largeur des courbes tend vers 0, sa hauteur tend vers +∞, mais la surface reste égale à 1. Pour des raisons pratiques, on représente souvent le dirac comme un bâton positionné en a et de hauteur 1.
Dirac : limite d'une suite de fonctions
Du fait de sa forme, on appelle aussi parfois un dirac "fonction impulsion". Le produit de convolution par un dirac δa, correspond à une translation de la fonction initiale d'une valeur de a
- f*δa(x) = f(x-a).
Produit de convolution d'une fonction par un dirac
On voit que δ0 laisse invariant une fonction, c'est l'élément neutre du produit de convolution
- f*δ0(x) = f(x).
Si l'on considère maintenant le produit de convolution par une somme pondérée de diracs (α.δa + β.δb), on obtient la superposition de deux courbes dilatées.
Produit de convolution d'une fonction par une somme pondérée de deux diracs
Considérons maintenant une fonction porte Pa,b ; c'est une fonction qui vaut 1/(b-a) entre a et b, et 0 ailleurs (sa surface vaut 1). Cette fonction peut être vue comme une succession de diracs. La convolution de f par Pa,b va donc s'obtenir en faisant glisser f sur l'intervalle [a;b]. On obtient un "élargissement" de f.
Produit de convolution d'une fonction par une fonction porte
Si l'on considère maintenant une fonction quelconque g, on peut voir g comme une succession de diracs pondérés par la valeur de g au point considéré. Le produit de convolution de f par g s'obtient donc en faisant glisser la fonction f et en la dilatant selon la valeur de g.
Produit de convolution d'une fonction par une fonction quelconque
