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La racine carrée d'un nombre réel positif x est le nombre réel positif qui une fois multiplié par lui-même donne x.
La racine carrée de x est notée .
Par exemple, puisque 4 × 4 = 16, et .
Les racines carrées sont importantes pour la résolution des équations du second degré.
En essayant de prolonger la fonction racine carrée aux nombres réels strictement négatifs on construit les nombres imaginaires et par extension le corps des nombres complexes.
Les propriétés importantes suivantes de la fonction racine carrée sont valables pour tous nombres réels positifs x et y (dans certains cas strictement positifs) :
Propriétés
(voir valeur absolue)
La fonction racine carrée envoie un nombre rationnel sur un nombre algébrique;
est rationnel si et seulement si x est un nombre rationnel et (à part 0) quotient de deux carrés parfaits (0 peut s'écrire ).En particulier, est irrationnel (son carré 2 n'est pas le quotient de deux carrés parfaits).
La fonction racine carrée envoie l'aire d'un carré sur la longueur d'un de ses côtés.
La fonction racine carrée a la représentation graphique suivante:
La fonction racine est continue en tout réel positif x, et dérivable en tout réel strictement positif x (mais n'est pas dérivable en x=0; en ce point la pente de la tangente est infinie; la courbe représentative admet en 0 une demi-tangente verticale).
Sa dérivée est égale à , et on peut l'obtenir facilement en considérant comme la fonction puissance (première propriété énumérée au-dessus).
Le développement en série de Taylor de la fonction racine carrée en le point 1 s'obtient immédiatement à partir de la formule du binôme généralisée :
Remarquons au passage que
Soient x et a deux réels, tels que x2=a. Une erreur courante est de «prendre la racine carrée» et d'en déduire que Cela est inexact, parce que la racine carrée de x2 n'est pas x, mais la valeur absolue de x : |x|, d'après l'une des règles ci-dessus.
Ainsi, nous pouvons conclure que , ou
Nous allons exposer un algorithme qui va nous permettre d'extraire la racine carrée d'un nombre. Évidemment, si la racine carrée n'est pas un nombre décimal, alors l'algorithme ne se termine jamais.
Bien que décrite ici pour des nombres écrits en base 10, la procédure fonctionne dans n'importe quelle base, base 2 comprise. Dans ce qui suit, 20 représente le double de la base, et en binaire il représenterait 100
Nous commençons par séparer les chiffres du nombre par paires en commençant à partir de la virgule. Nous plaçons le nombre dont on veut extraire la racine à l'écart, de la même façon que lorsque nous effectuons une longue division.
À chaque étape:
Dans un but pédagogique, on aligne un chiffre de résultat sur deux chiffres du carré.
Le résultat est le suivant.
| 01 52,27 56
x 01 1×1=1
____
Il devrait être 12,34.
Vérification:
L'équation de Pell conduit à une méthode pour trouver des approximations rationnelles de racines carrées de nombres entiers.
Un autre algorithme plus couramment utilisé pour approcher √x est basé sur la méthode de Newton et procède de la manière suivante :
Cet algorithme fonctionne également bien pour les nombres p-adiques, mais
ne peut pas être utilisé pour identifier de vraies racines carrées des racines carrées p-adiques; il est facile, par exemple, de construire une suite de nombres rationnels par cette méthode qui converge vers +3 dans les réels, mais vers -3 dans les 2-adiques.
Pour tout nombre complexe non nul z il existe exactement deux nombres w tels que w2 = z.
La définition de racine de est la suivante :
si z s'écrit sous forme trigonométrique z = r exp(iφ) avec -π < φ ≤ π, alors nous posons .
Ainsi définie, la fonction racine carrée est holomorphe partout sauf en les réels négatifs. (en lesquels elle n'est même pas continue).Le développement en série de Taylor ci-dessus reste valable pour x complexe.
Quand le nombre est dans sa forme algébrique, la formule suivante peut être utilisée:
Notons qu'à cause de la nature discontinue de la fonction de racine carrée dans le plan complexe, la relation est fausse en général.
Supposer cette propriété toujours vraie risque de nous conduire à des démonstrations fausses et, par exemple ce qui suit est une démonstration de l'égalité -1 = 1 :
Si A est une matrice définie positive ou un opérateur défini positif en dimension finie, alors il existe exactement une matrice ou un opérateur définis positifs B tel que B2 = A; nous définissons alors √A = B.
Plus généralement, pour toute matrice normale ou tout opérateur normal en dimension finie A, il existe des opérateurs normaux B tels que B2 = A.
Cela peut se généralier à un opérateur borné normal sur un espace de Hilbert.
En général, il y a plusieurs tels opérateurs B pour chaque A et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d'une façon satisfaisante. Les opérateurs définis positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes.
exemple:
Extraction de racines carrées
Exemple: Quelle est la racine carrée de 152,2756 (en base 10). ____1__2,_3__4_
(1+1=2)
00 52
2 x10 , 2
2x 00 44 22×2=44
_______
(22+2=24)
08 27
24 x10 , 3
24x 07 29 243×3=729
_______
(243+3=246)
98 56
246x10 , 4
246x 98 56 2464×4=9856
_______
(2464+4)=2468
00 00 fin de l'algorithme
Le résultat trouvé est ???
donc 2468/20 = 123,4??12,34 x 12,34 = 12x12 + 2x12x0,34 + 0,34x0,34.
= 144 + 8,16 + (0,32x0,32 + 2x0,02x0,32 + 0,02x0,02)
= 144 + 8,16 + 0,1024 + 0,0128 + 0,0004
= 152,2756
Calcul approché
L'algorithme converge de manière quadratique, ce qui signifie que le nombre de chiffres exacts de r double pratiquement à chaque étape. Les racines carrées de nombres complexes
où le signe de la partie imaginaire de la racine est le même que le signe de la partie imaginaire du nombre initial.
La troisième égalité ne peut pas être justifiée. (Voir la preuve que 1 est égal à -1.)Les racines carrées de matrices et d'opérateurs
Les racines carrées, approximations entières
Les demo makers ont parfois besoin de construire de tables de racines carrées entières.CARRE 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .. 15 16 17 .. 24 25
RACINE 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 .. 3 4 4 .. 4 5
Lorque l'on observe la suite des racines, On s'appercoit que les racines sont constantes, puis incrémentées.
Plus précisément,
Le nombre de fois est une suite de nombres impairs (incrémentés de 2 en 2).Démonstration
(a+1)² -a² = a² +2a +1 -a²
= 2a + 1
on retrouve donc notre exemple:
Voir aussi