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Reductio ad absurdum signifie en latin réduire à une absurdité et est un type de raisonnement logique, aussi appelé raisonnement par l'absurde ou démonstration par l'absurde. Il repose sur le principe du tiers exclu, qui affirme qu'une assertion qui ne peut pas être fausse est forcément vraie.
Admettons que nous ayons à démontrer une proposition p. La démarche consiste à montrer que supposer non p (i.e. que p est fausse) mène à une contradiction logique. Ainsi p ne peut pas être fausse, et doit être a fortiori vraie.
Prenons un exemple simple, et considérons la proposition « il n'y a pas de plus petit nombre rationnel strictement plus grand que 0 ». Dans un raisonnement par l'absurde, nous commençons par prendre la négation de la proposition : « il existe un plus petit nombre rationnel strictement positif, disons r0 ».
Maintenant soit x = r0/2. Alors x est un nombre rationnel, et est strictement plus grand que 0, et x est strictement plus petit que r0. Mais cela est absurde – contradictoire avec notre hypothèse initiale que r0 était le plus petit nombre rationnel. Ainsi nous pouvons conclure que la proposition d'origine est nécessairement vraie : il n'y a pas de plus petit nombre rationnel strictement plus petit que 0.
Il n'est pas rare d'utiliser ce type d'argument avec des propositions telle que celle ci-dessus, pour démontrer la non-existence de quelque objet mathématique. Nous supposons que de tels objets existent, et ensuite nous démontrons que cela nous mène à une contradiction ; ainsi, de tels objets n'existent pas. Pour des exemples, voyez la démonstration de l'existence d'une infinité de nombres premiers, la démonstration que la racine carrée de 2 est irrationnelle et la démonstration de la non dénombrabilité de l'ensemble des réels de Cantor.
Il est important de noter que pour fournir une preuve valide, il doit être démontré que pour une proposition donnée p , non p implique une propriété qui est réellement fausse dans le système mathématique utilisé. Le danger ici est de commettre l'erreur logique de la logique fallacieuse, où nous montrons que non p implique une propriété q, qui semble fausse, mais qui n'est pas vraiment démontrée comme fausse. Les exemples historiques de cette erreur incluent la démonstration fausse du cinquième postulat d'Euclide de la droite parallèle (aussi connu comme le postulat de la parallèle) à partir des autres postulats. L'échec de ces démonstrations a par la suite mené à la géométrie non euclidienne.
Bien que le raisonnement par l'absurde soit librement employé dans les démonstrations mathématiques, toutes les écoles de pensée mathématique ne l'acceptent pas comme un principe universellement vrai. Dans des écoles telles que l'intuitionnisme, la loi du tiers exclu n'est pas considérée comme vraie. Dans cette manière de penser, il y a une différence très significative entre montrer que quelque chose existe en prouvant qu'il serait absurde qu'elle ne soit pas et en montrant que quelque chose existe en construisant un exemple réel d'un tel objet.
En logique symbolique, le reductio ad absurdum est représenté par :