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Origine de la théorie
La théorie de la relativité restreinte a été formulée pour la première fois par Albert Einstein en 1905, dans son article intitulé De l'électrodynamique des corps en mouvement. Elle est née de l'observation que l'équation de la propagation d'une onde électromagnétique n'est pas covariante, c'est-à-dire que leur expression n'est pas valable par changement de référentiel selon les transformation de la relativité de Galilée (addition des vitesses). Cette dernière s'exprime ainsi pour deux référentiels et , se déplaçant par rapport à avec une vitesse constante et en supposant qu'à , , et se confondent.
Ceci fut expérimentalement contredit par l’expérience de Michelson et a conduit Einstein à postuler que la vitesse de la lumière est un invariant, et donc à accepter la transformation dite de Lorentz qui a cette propriété de garder la vitesse de la lumière invariante . Les transformations de Lorentz gardent invariantes la vitesse de la lumière et les lois de l’electromagnétisme : Autrement dit, les lois de l’electromagnétisme restent inchangées en changeant de référentiel selon Lorentz.
Les transformations de Lorentz doivent remplacer les transformations de Galilée pour exprimer les lois physiques, toutes les lois physiques, losque l’on change de référentiel : c’est le choix audacieux fait par Einstein , choix qui s’est avéré juste.
L'expérience d'interférométrie de Michelson et Morley:
C’est en essayant d’utiliser la loi d’addition des vitesses (Michelson, puis Michelson et Morlaix) pour mettre en évidence le mouvement de la terre par rapport à l’espace supposé immobile que ces chercheurs ont obtenu un résultat apparemment absurde : la vitesse de la terre autour du soleil était nulle ! certains ont essayé d’expliquer ce résultat en parlant d’éther entraîné par la terre à la façon d’un bateau qui entraîne l’air contenu dans ses cabines, mais c’est Einstein en utilisant les transformations dites de Lorentz qui eut l’audace de remettre en cause les bases de la mécanique classique :
Non les vitesses ne s’additionnent pas et pour obtenir les règles de composition des vitesses, il suffit d’admettre les transformations de Lorentz comme valide pour toutes les lois de la nature et que celles de Galilée en sont une approximation valable aux faibles vitesses.
Les transformations de Lorentz font que les équations de Maxwell sont invariantes par changement de référentiel et que leur vitesse c dans le vide est la même dans tout référentiel, ce qui à priori est absurde. Einstein décida que les lois de l’Electromagnétisme étaient correctes …et qu’il fallait en tirer la conclusion que les lois de la mécanique classique ne l’étaient pas ! Ce qui l’amena très tôt à considérer que la masse n’est qu’une forme de l’énergie.
Un signal lumineux allant vers les x positifs dans le premier train se propage d'après l'équation (x désigne la distance, t désigne le temps) : ou encore
Dans le second train, de la même façon, on a :
Des événements colocalisés dans l'espace temps, peu importe dans quel train se trouve l'observateur, doivent satisfaire les deux équations en même temps. Il existe donc une constante λ telle que :(x' - ct') = λ (x - ct)
De même si l'on considère un signal lumineux allant dans l'autre sens, on obtiendrait une relation équivalente, avec une autre constante, soit :(x' + ct') = μ (x + ct)
Si l'on prend a = (λ+μ)/2 et b=(λ-μ)/2, on obtient le système suivant : :
L'origine de notre repère dans le second train se trouve à l'endroit où x' = 0. on en déduit que :
On obtiendrait le même résultat en calculant la vitesse du premier train par rapport au second.
Maintenant, la situation des deux trains étant symétrique, la longueur d'une règle de mesure unité dans le premier train et qui est au repos par rapport au second doit être la même que celle d'une règle de mesure unité dans le second et au repos par rapport au premier train. Prenons une photo instantanée des deux trains par exemple à un t = 0 (temps mesuré dans le premier train) :
Donc, si dans le second train, deux points sont distants de Δx' = 1, ils le sont de Δx = 1/a dans le premier.
Prenons l'instantané dans le second train maintenant (t' = 0), en éliminant t et en introduisant v, on obtient:
On en déduit que, dans le premier train, deux points séparés d'une distance 1, ont sur notre instantané dans le second train une distance:
Comme les deux instantanés doivent être identiques (Δx=Δx') :
Le passage d'un référentiel à l'autre se fait donc par une nouvelle loi de transformation, dite loi de transformation de Lorentz, différente de la loi galiléenne de la mécanique classique :
L'équation fondamentale de la Mécanique classique appliquée à une particule de masse m est :
En tenant compte des formules de Lorentz, on a donc :
Les postulats de base
Les transformations de Lorentz
On démontre que les équations de propagation de l'électromagnétisme sont covariantes par transformation de Lorentz. C'est une des manières standard de dériver cette transformation de Lorentz.Calculs relativistes
Il vaut mieux en relativité restreinte se fier au calcul et éviter les raisonnements sans calculs:Calculs relativistes
essai pour établir les transformations de Lorentz
Considérons 2 référentiels R et R' où R' se déplacent sur l'axe des x à la vitesse v. c désigne la vitesse de la lumière dans le vide.
Et que donc la vitesse v à laquelle se déplace le second train par rapport au premier est :
Si &gamma est proche de 1, on retrouve la transformation galiléenne.
La présentation donnée ci-dessus, basée sur des arguments géométriques uiquement, a l'avantage de la simplicité.Conséquences
la contraction des longueurs dans la direction du déplacement : la mesure de longueur selon x est plus courte dans le référentiel fixe que dans le référentiel en mouvement.
Equations de la Mécanique relativiste
où F est la somme des forces appliquées sur la particule.
La quantité de mouvement de la particule est alors
Son énergie cinétique est définie par :
L'intégration par rapport à la variable v conduit à:
Si on pose que l'énergie cinétique d'une particule au repos (v = 0) est nulle, on obtient la valeur de la constante d'intégration
Par conséquent, l'énergie de la particule s'écrit
Dans le cas où v << c, on retrouve l'expression classique de l'énergie cinétique :
On peut donc définir une masse de la particule au repos m0.
L'énergie totale de la particule est alors la somme de son énergie de masse, et de son énergie cinétique
On peut faire plusieurs observations :
Poser cette équivalence fut un pas révolutionnaire, car les concepts de matière et d'énergie étaient complètement distincts jusque là, bien que certains mathématiciens comme Poincaré ou Lorentz avaient indépendament tenté le rapprochement dans le domaine de l'électromagnétisme.Voir aussi
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