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Cette technique est notamment connue grâce au papyrus Rhind, papyrus hiératique écris au XVIIe siècle avant notre ère (~1650 av. J.-C.) où le sage Ahmès expose les connaissances mathématiques de son temps (qui viennent en partie des babyloniens).
| Table of contents |
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2 La table 3 Le résultat 4 Exemple 5 Articles connexes |
La décomposition par somme de puissances de deux n'est en fait qu'un changement de base 10 en base 2, mais les égyptiens de l'antiquité ignorant tout de ces concepts devaient recourir à des techniques plus simples.
Les puissances de deux est la suite de nombre commençant par 1 et dont les nombres s'obtiennent en multipliant le précèdent par deux (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc.). Les Égyptiens de l'Antiquité devaient disposer de table contenant un grand nombre de puissance de 2 pour ne pas être obligé de les recalculer à chaque fois. La décomposition d'un nombre consiste donc à retrouver les puissances de deux qui le compose. Les égyptiens savaient de façon empirique qu'une puissance de 2 donné n’apparaît qu'une seule fois dans un nombre. Pour la décomposition, ils procèdent méthodiquement ; Ils trouvaient d'abord la plus grande puissance de deux inférieure ou égale au nombre en question, la soustrayaient et recommençaient l'opération jusqu'à ce qu'il ne reste plus rien (les égyptiens ne faisaient pas intervenir le zéro dans les mathématiques).
Exemple de la décomposition du nombre 25 :
Ensuite, il suffisait de construire la table des puissances de deux du deuxième opérateur de la multiplication (généralement le plus petit) de 1 à la plus grande puissance de deux trouvé lors de la décomposition. Dans ce tableau, la ligne s'obtient en multipliant la précédente par 2.
Par exemple, si la plus grande puissance de deux trouvée lors de la décomposition est 16 et que le deuxième nombre de la multiplication est 7, il faut créer le tableau suivant :
Le résultat s'obtient en additionnant tout les nombreux de la deuxième colonne dont la puissance de deux correspondante fait partie de la décomposition du premier nombre.
Le gros avantage de cette technique est qu'elle ne fait intervenir que des additions, des soustractions et des multiplications par deux.La décomposition
25 est donc la somme des puissances de deux : 16, 8 et 1.La table
Le résultat
| ✔ | 1 | 238 |
| 2 | 476 | |
| ✔ | 4 | 952 |
| ✔ | 8 | 1904 |
| 13 | 3094 | |
13=8+4+1 donc d'après la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, 13× 238 = (8+4+1) × 238 = 8×238 + 4×238 + 1×238.