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Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie, qui s'intéresse aux propriétés métriques des triangles rectangles, c'est-à-dire ceux qui possèdent un angle droit. Sachant que l'hypoténuse est le plus grand coté à l'opposé de l'angle droit, le théorème de Pythagore affirme que:
Si un triangle est rectangle alors la somme des aires des carrés formés par les cotés qui constituent l'angle droit est égale à l'aire du carré formé par son hypoténuse.
Ce résultat était déjà connu des Babyloniens sous sa forme numérique, 1000 ans avant Pythagore —philosophe et mathématicien Grec du 6e siècle avant notre ère— dont on pense qu'il connaissait aussi ce théorème. Euclide fut le premier à le démontrer dans le premier livre de ses Éléments, proposition 46.
Comme l'aire d'un carré est le carré de la longueur d'un coté, nous pouvons aussi formuler le théorème ainsi, si AB=c, AC=b et CB=a :
Si le triangle ABC est rectangle en C alors .
| Table of contents |
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2 Cas particuliers 3 Variations sur le théorème 4 Autres usages 5 Voir aussi 6 Liens externes |
Considérons un triangle rectangle et a, b et c ses cotés comme ici. Ensuite recopions ce triangle et plaçons-le de manière à avoir le coté a aligné au coté b du premier triangle et pour que leur cotés c forment un angle droit (c'est possible car la somme des angles d'un triangle quelconque est égale à deux angles droit). Puis, plaçons le coté a d'un troisième triangle aligné avec le coté b du second, afin que les cotés c forment un angle droit. Enfin, complétons un carré de coté (a+b) en plaçant le coté a d'un quatrième triangle aligné avec le coté b du troisième triangle. On peut dire deux choses de ce carré : soit l'aire du carré est (a+b)2 car (a+b) est la longueur d'un de ces cotés, soit le carré est constitué de quatre triangles d'aires ab/2 égales ainsi qu'un carré au milieu de longueur c. Donc le total du carré peut aussi être noté 4 · ab/2 + c2. On peut considérer que ces deux expressions sont égales et simplifier :
Démonstration
Perhaps this theorem has a greater variety of different known proofs than any other (the law of quadratic reciprocity may also be a contender for that distinction).
C'est sans doute le théorème qui possède le plus grand nombre de preuves connues (la loi sur la réciprocité quadratique se distingue aussi dans ce domaine).
CQFD
Notez que cette démonstration ne fonctionne pas dans une géométrie non-euclidienne, car dans une sphère la somme des angles d'un triangle ne fait pas 180 degrés, et ce carré ne peut être formé. (Voir les liens externes ci-dessous pour une présentation de différentes preuves du théorème de Pythagore).
Il existe de nombreuses autres démonstrations du théorème de Pythagore ; le président des États-Unis James Garfield en developpa une lui-même. L'une des plus intéressantes est la preuve calculatoire basé sur la formule d'Euler (établissant l'identité de Pythagore).
La contraposée du théorème affirme ceci :
Notons que la contraposée est logiquement équivalente au théorème direct, elle n'a en revanche pas le même usage en démonstration puisque le théorème sert à calculer le troisième côté manquant d'un triangle rectangle alors que la contraposée sert à démontrer qu'un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés n'est pas rectangle.
La réciproque du théorème de Pythagore (la proposition 47 du premier livre des Éléments d'Euclide) est également vraie :
Ceci peut être prouvé en utilisant la loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi, déjà connu par Euclide dans ses Éléments : les propositions 12 et 13 du livre II) qui est une généralisation du théorème de Pythagore appliquée à tous les triangles (euclidiens).
Enfin, la contraposée de la réciproque du théorème de Pythagore stipule cela :
Une autre généralisation du théorème de Pythagore fut déjà énoncée par Euclide dans ses Éléments (Proposition 31 du livre VI):
Autre formulation :
Le théorème de Pythagore énoncé dans les coordonnées cartésiennes est la formule de la distance entre les points d'un plan — si (, ) et (, ) sont des points du plan, alors la distance les séparant est donnée par :
Le théorème de Pythagore se généralise aussi dans les simplexes de plus haute dimension. Si un tétraèdre possède un coin formé d'angle droit (un coin de cube), alors le carré de l'aire de la face opposé au coin est la somme des carrés des aires des trois autres faces. Ce théorème est aussi connu sous le nom de théorème de Gua.
Comme le théorème de Pythagore est dérivé d'axiome de la géométrie euclidienne, et que les espaces physiques ne sont pas toujours euclidiens, il ne doit pas être valide pour les triangles dans les espaces physiques. L'un des premiers mathématiciens à réaliser ceci fut Carl Friedrich Gauss, qui mesura donc attentivement de grands triangles rectangles dans le cadre de son étude géographique afin de vérifier ce théorème. Il ne trouva aucun contre-exemple avec sa précision de mesure. La théorie de la relativité générale soutient que la matière et l'énergie conduit l'espace à être non-Euclidien et le théorème ne s'applique donc pas strictement en présence d'énergie. Cependant, la déviation par rapport à l'espace Euclidien est faible sauf près d'imposantes sources gravitationnelles comme les trous noirs. Déterminer si le théorème est enfreint sur d'importantes échelles cosmologiques est un problème ouvert pour la cosmologie.
Soit deux vecteurs, et , le théorème de Pythagore affirme que :
Cas particuliers
Cette "règle de 3-4-5" vous permet de construire un angle droit, par exemple dans la campagne avec une simple corde.Variations sur le théorème
Si les longueurs des côtés d'un triangle ABC vérifient , alors le triangle n'est pas rectangle en C.
Si le carré du côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle (l'hypoténuse étant le premier côté cité).
Autre formulation :
Si les longueurs des côtés d'un triangle ABC vérifient alors le triangle est rectangle en C.
Si le triangle ABC n'est pas rectangle en C alors
Autres usages
Dans les triangles rectangles, la figure construite sur le côté qui soutend l'angle droit, est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les côtés qui comprennent l'angle droit.
Si on érige des figures semblables (voir géométrie) sur les cotés d'un triangle droit, alors la somme des aires des deux plus petites figures égale l'aire de la plus grande.
La formule de la distance entre les points A et B se généralise dans un espace de dimension n (A a pour coordonnées (x1, x2, ... xn) et B (x'1, x'2, ... x'n)) :
La formule de la distance se généralise dans l'espace des produits scalaires et la version du théorème de Pythagore dans cette espace est appelée identité de Parseval.
De manière générale, si les vecteurs ne sont pas orthogonaux, on a simplement une inégalité, dite "inégalité triangulaire" :
que l'on écrit en général
Voir aussi
Liens externes