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Le triangle est une figure fermée à trois côtés rectilignes. Cette figure est particulièrement intéressante, car toute forme aux contours brisés (c'est-à-dire dont le contour est constitué de traits droits) peut être découpée en triangles ; si l'on connaît les propriétés des triangles, on peut en déduire les propriétés de cette figure quelconque. Si la figure a un contour courbe, on peut l'approcher par une ligne brisée et se reporter au cas précédent.
Le triangle est également le symbole de la stabilité, utilisé par exemple dans le symbole de la Sécurité civile. C'est le profil spontané que prend un tas de sable ou de gravier. Il est de ce fait à la base des constructions traditionnelles (hutte, tipi, wigwam) et a été largement adopté par les architectes : c'est le profil des pyramides égyptiennes, mais aussi celui des toitures, des flèches de cathédrale...
Outre cette stabilité verticale, on peut aussi remarquer qu'un tabouret à trois pieds n'est jamais bancal, le triangle représente aussi la stabilité horizontale. En fait, trois point sont toujours sur un même plan (on peut mettre une plaque parfaitement plane en contact avec les trois pieds), alors que si l'on ajoute un quatrième point, il peut être au-dessus ou en-dessus de ce plan. Ainsi, une des positions de travail stable est la position du trépied (un genou au sol, l'autre relevé) ; c'est la figure formée par les roues et la béquille d'un vélo ; en premiers secours, la stabilité de la position latérale de sécurité (PLS) est assurée par deux triangles, l'un formé par l'avant-bras posé au sol et la main sous la tête, l'autre formé par la partie du bassin posée au sol, le genou de la jambe pliée et le pied de la jambe allongée. C'est aussi cette propriété qui fait qu'informatique, une surface est décomposée en triangles (par exemple en synthèse d'image ou pour les calculs par éléments finis).
Le triangle est aussi le profil de la pointe de flèche, le symbole de la direction , de la détermination, de la pénétration. C'est le profil de l'aile d'un deltaplane ou du Concorde.
Dans certaines sociétés traditionnelles, c'est la symbole de la femme, car c'est la forme de la pilosité pubienne ; par exemple, le foyer (feu) entretenu par la femme est constitué de trois pierres.
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En géométrie, le triangle est un polygone à trois côtés. C'est une figure géométrique définie par trois points non alignés.
Suivant les longueurs de ses côtés, il peut être :
On nomme un triangle en citant le nom de ses sommets, par exemple ABC.
En général, pour nommer les longueurs des côtés, on utilise la nom de l'angle opposé, en minuscules :
a = BC, b = AC, c = AB.
On appelle cercle circonscrit le cercle passant par les trois sommets ; on dit alors que "le triangle est inscrit dans le cercle". On appelle cercle tangent le cercle tangent aux trois côtés.
On appelle hauteur en un point le projetté orthogonal de ce point sur le côté opposé ; ce point est souvent noté H, la longueur du segment reliant le point à sa hauteur est souvent notée h.
On appelle médiane en un point la droite reliant ce point au milieu du côté opposé.
Rappelons enfin la définition de deux objets non spécifiques aux triangles, mais fréquemment utilisés. La médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté et passant par son milieu ; la bissectrice est le lieu des points situés à égale distance des extrémités du côté. La bissectrice d'un angle est la droite divisant le secteur angulaire en deux secteurs angulaires de même angle ; les points de la bissectrice sont à égale distance des côtés adjacents au sommet concerné.
Voici quelques propriétés des triangles en géométrie euclidienne (ou géométrie plane).
Voir la figure de la section Définitions.
Ceci est une des propriétés du cercle.
Cliquer sur le lien pour avoir l'illustration et la démonstration
Le triangle est un instrument de musique de la famille des percussions, formé d'une barre de métal ployée en triangle, et d'un bâton de métal pour la frapper.Mathématiques
Triangles particuliers
Triangles type
Suivant les mesures de ses angles, il peut être :
Un triangle peut être isocèle et rectangle ; alors, les deux angles non-droit valent 45 ° (π/4 rad).Définitions
Objets géométriques liés aux triangles
La somme des mesures des angles
d'un triangle vaut 180°Propriétés en géométrie euclidienne
Ceci se voit aisément en traçant les parallèles aux côtés en un point (ce qui est la démonstration d'Euclide dans ses Éléments, proposition I-32). On déduit ainsi que les angles d'un triangle équilatéral valent 60 ° (ou π/3 rad).
Le triangle rectangle est un demi-rectangle
ABC est la moitié d'un rectangle.
Si H est à l'intérieur de [AC], il divise le triangle en deux triangles rectangles ABH et HBC, il suffit d'additionner les aires. Si cette projection est à l'extérieur, on a deux triangles rectangles ABH et CBH, il suffit de soustraire leurs aires.
On sait que par trois points non-alignés, il passe un cercle et un seul. Il suffit ensuite de considérer les côtés deux à deux.
Les centre de tous les cercles tangents à deux droites sécantes
sont sur une des deux bissectrices
Si les points d'une bissectrice sont à égale distance des deux côtés adjacents. Donc si l'on prend un point de la bissectrice et que l'on trace un cercle centré sur ce point et dont le rayon est la distance aux droite, ce cercle est tangent aux droites (le rayon est perpendiculaire à la tangente, c'est une des propriétés du cercle). On applique cette propriété aux angles deux à deux.
a2 = b2 + c2
Cela peut se démonter avec les vecteurs, en remarquant que
Polyèdres à faces triangulairesVoir
Musique