Pour tout nombre réel a, la valeur absolue de a (notée |a|) est égale à a lui-même si a ≥ 0, et à -a si a < 0.

La valeur absolue d'un réel a les propriétés suivantes :

1. |a| ≥ 0
2. |a| = 0 si et seulement si a = 0.
3. |ab| = |a||b|
4. |a/b| = |a| / |b| (si b ≠ 0)
5. |a+b| ≤ |a| + |b| (inégalité triangulaire)
6. |a-b| ≥ ||a| - |b||
7. |a| = √ (a²)
8. |a| ≤ b si et seulement si -b ≤ a ≤ b

|x - 3| ≤ 9

-9 ≤ x-3 ≤ 9

-6 ≤ x ≤ 12

Pour un nombre complexe on parle plutôt de module

Il est utile d'interpréter l'expression |x - y| comme la distance entre les deux nombres x et y sur la droite réelle.

En munissant l'ensemble des nombres réels de la distance valeur absolue, il devient un espace métrique

Voyons maintenant comment écrire des algorithmes donnant la valeur absolue d'un nombre réel :

Algorithme

valeur absolue

variable : x réel

 écrire(``entrer un réel'');
 lire (x);
 si x < 0 alors x  -x
 écrire(``valeur absolue de x ``, x)

Dans de nombreux langages de programmation, la valeur absolue d'un réel (flottant) est une fonction de base notée 'abs.

En Langage Pascal par exemple, pour la valeur absolue d'un entier cela donne :

program valeur_absolue;
var n: integer;
begin
 write('entrer un entier ');
 readln (n);
 if n < 0 then n := -n;
 writeln ('valeur absolue de n =', n)
end.