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À l'origine, un vecteur est un objet de la géométrie euclidienne. Le vecteur est, en physique, ce qui permet de modéliser diverses grandeurs telles que la vitesse, la force, le champ électrique... Mais la notion mathématique de vecteur est en fait plus vaste.
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2 Définition générale 3 Autre acception |
On peut le voir comme une flèche dont l'emplacement dans le plan n'a pas d'importance, seule compte sa direction et son sens. Pour être plus précis, on définit des bipoints comme étant des couples de points (l'ordre ayant une importance) ; deux bipoints représentent le même vecteur s'ils définissent des segment parallèles entre eux, de même longueur et de même orientation. Pour être plus rigoureux, le vecteur est une "classe d'équivalence de bipoints équipollents".
De manière vulgarisée, un vecteur en géométrie peut être vu comme une flèche dont la position dans l'espace n'a pas d'importantce ; seuls importent sa longueur, sa direction et son sens.
On peut définir des opérations sur ces vecteurs, qui, bien que portant des noms utilisés pour les nombres, sont en fait des constructions géométriques : la multiplication d'un vecteur par un scalaire, la somme de deux vecteur, le produit scalaire ou vectoriel de deux vecteurs... Par ailleurs, on peut, comme à tous les objets géométriques, leur appliquer les transformaitons classiques : rotation, projection, homothétie...
Les vecteurs sont souvent notés par une lettre avec une flèche au-dessus, par exemple ; dans certains ouvrages, on note les vecteurs en caractère gras, par exemple u. Si le bipoint (A,B) un des représentant du vecteur, alors on peut noter le vecteur . La longueur du vecteur s'appelle la norme, et se en mettant le vecteurs entre deux traits verticaux de chaque côté, (on utilise aussi parfois simplement la ou les lettres désignant le vecteur sans la flèche, par exemple u ou AB).
Si deux bipoints (A,B) et (C,D) représentent le même vecteur (c'est-à-dire sont équipollents), on peut alors écrire :
L'angle que forment deux vecteurs et est noté ;
il est mesuré en amenant l'origine des deux vecteurs en un point
et en mesurant l'angle que font les segments.
Si (A,B) est un représentant de
et (A,C) un représentant de , alors
Vecteur en géométrie euclidienne
Le vecteur nul est le vecteur dont les représentants sont de type (A,A) (les deux points du bipoint sont confondus) ; il est noté . Il est de longueur nulle,
On définit en général une base dans le plan ou dans l'espace, qui permet de définir le vecteur par ses composantes (l'équivalent des coordonnées pour les points dans un plan ou un espace muni d'un repère). On utilise en général deux notations différentes :
L'utilisation des vecteurs en géométrie euclidienne forme la géométrie vectorielle. On définit en particulier des constructions géométriques particulières, c'est-à-dire la construction d'un vecteur à partir de deux vecteurs, ou bien d'un vecteur et d'un scalaire ; ces construction ayant des propriétés similaires aux opérations sur les nombres (commutativité, distributivité, présence d'un élément neutre ou absorbant), elle sont de fait appelées et notées de la même manière. On parle ainsi de somme de vecteurs, du produit d'un vecteur par un nombre, de produit vectoriel...
Par extension, tous les objets ayant les même propriétés que ces vecteurs géométriques sont appelés vecteurs ; c'est le cas par exemple des polynômes, des fonctions périodiques, matrices, nombres réels et complexes... Ceci a amené à la définition de la notion abstraite d′espace vectoriel.
La définition générale d'un vecteur est donc : "élément d'un espace vectoriel".
Un vecteur est un tenseur ; la plupart des vecteurs utilisés sont des tenseurs d'ordre 1, sauf les matrices qui sont d'ordre 2.
Le mot vecteur désigne aussi ce qui convoit ; par exemple, les moustiques sont des vecteurs du paludisme, les missiles sont des vecteurs de têtes nucléaires, les véhicules de secours à personne des sapeurs-pompiers sont des vecteurs de défibrillateur semi-automatique..
Définition générale
Autre acception