L'analisi della varianza è un insieme di tecniche statistiche
facenti parte della statistica inferenziale che permettono di confrontare
due o più gruppi di dati confrontando la variabilità interna a questi gruppi
con la variabilità tra i gruppi.
L'ipotesi nulla solitamente prevede che i dati di tutti i gruppi
abbiano la stessa origine, ovvero la stessa distribuzione stocastica,
e che le differenze osservate tra i gruppi siano dovuti solo al caso.
Si usano queste tecniche quando le variabili esplicative sono di tipo nominale.
Nulla impedisce di usare queste tecniche anche in presenza di variabili esplicative
di tipo ordinale o continuo, ma in tal caso sono meno efficienti delle
tecniche alternative (p.es.: regressione lineare).
Il confronto si basa sull'idea che se la variabilità interna ai gruppi
è relativamente elevata rispetto alla variabilità tra i gruppi,
allora probabilmente la differenza tra questi gruppi è soltanto
il risultato della variabilità interna.
Il più noto insieme di tecniche si basa sul confronto della varianza
e usa variabili di test distribuite come la F di Snedecor.
Le diverse tecniche vengono suddivise a seconda se il modello
prevede
- una sola causa: p.es.: il gradimento di un cibo dipende dal colore del medesimo
- più di una causa: p.es.: il successo scolastico dipende sia dal genere (maschi,femmine) che dallo sport praticato (calcio, tennis, box,...)
- iterazione tra più cause: p.es.: la velocità di guarigione dipende da due farmaci, i quali però si annullano (o rinforzano) a vicenda
Esempio di Analisi della varianza semplice
Il modello prevede che
- xij = μ + αi + εij
L'ipotesi nulla prevede che i valori osservati derivino da una distribuzione gaussiana
con stessa media μ e stessa varianza e che αi sia uguale
per tutti i gruppi (e pertanto nullo).
I dati osservati nei quattro gruppi,
che chiamerremo A, B, C e D,
di uguale numerosità (per semplificare l'esempio),
sono:
| j | A | B | C | D |
|---|
| 1 | 0,72 | 0,75 | 0,68 | 0,78 |
| 2 | 0,69 | 0,85 | 0,70 | 0,86 |
| 3 | 0,71 | 0,82 | 0,67 | 0,87 |
| 4 | 0,70 | 0,80 | 0,65 | 0,84 |
| 5 | 0,68 | 0,88 | 0,70 | 0,85 |
Siano adesso
- SSQa: la somma degli scarti quadratici delle medie dei singoli gruppi (mi) dalla media generale m
- SSQe: la somma degli scarti quadratici dei singoli valori xij rispetto alla media mi del gruppo a cui appartengono
- SSQtot: la somma degli scarti quadratici di tutti singoli valori rispetto alla media generale m
Ovvero:
- m = 1/n ΣiΣjxij
- mi = 1/ni Σjxij
- SSQa = Σini(mi-m)²
- SSQe = ΣiΣj(xij-m)²
- SSQtot = Σini(xij-m)² = SSQe + SSQa
La variabile test diventa
SSQa/(k-1)
T = ---------
SSQe/(n-k)
dove
- k è il numero di gruppi (nel nostro esempio: k=4)
- ni la numerosità dei singoli gruppi (nel nostro caso ni=5 per tutti)
- n = Σini, ovvero il numero complessivo di casi osservati
Nel nostro esempio si ottiene che:
- SSQtot =0,1176
- SSQa = 0,1000
- SSQe = 0,0176
e pertanto
0,1000 / (4-1) 0,1000·16
T = --------------- = --------- = 30,30
0,0176 / (20-4) 0,0176·3
tale valore viene confrontato con i valori dei una v.c. F di Snedecor con 3 e 16 gradi di libertà.
Se si accetta una percentuale di falsi positivi del 5%=(100-95)% tale valore è
- F( 0,95 ; 3 ; 16 ) = 3,24
pertanto, essendo 30,3 >> 3,24 si rigetta l'ipotesi nulla che prevedeva l'assenza di effetti
e si afferma che molto probabilmente almeno uno dei quattro gruppi è diverso dagli altri.
Forse tutti i gruppi sono diversi uno dall'altro, forse solo uno di loro.
Un test (proposto per la prima volta da Ronald Fisher)
permette di determinare la più piccola differenza significativa
tra la media di due gruppi, confrontandoli uno ad uno.
Tale differenza è pari a
- t( 0,05/2 ; n-k ) * √(SSQe(1/np+1/nq))
Vedi anche:
