Relatività ristretta

Relatività ristretta

La teoria della relatività speciale (RS) è una teoria della fisica pubblicata nel 1905 da Albert Einstein, allo scopo di rendere compatibili tra di loro la meccanica e l'elettromagnetismo per trasformazioni del sistema di riferimento. L'aggettivo speciale si riferisce al fatto che vengono considerate trasformazioni solo tra sistemi di riferimento inerziali, escludendo quindi i sistemi accelerati, come per esempio, quelli sotto l'azione della forza gravitazionale. Dieci anni più tardi, Einstein pubblicò la sua teoria della relatività generale, in cui riuscì ad estendere il concetto di invarianza anche ai sistemi sottoposti alla forza della gravità.

Table of contents

1 Spazio e tempo assoluti
2 Relatività galileiana ed elettromagnetismo
3 Esperimenti cruciali
4 Punto di partenza e prime conseguenze
5 Le nuove trasformazioni
6 Note
7 Paradossi
8 Cinematica relativistica
9 Dinamica relativistica
10 Evidenze sperimentali
11 Note finali

Spazio e tempo assoluti

La legge di inerzia richiede la definizione di un sistema di riferimento nel quale sia valida. Allo stesso modo deve essere definito lo scorrere del tempo, necessario per misurare la velocità di un corpo in tale sistema.
Isaac Newton, scartata la possibilità di un riferimento empirico, che sarebbe stato pur sempre un'approssimazione, postulò l'esistenza di uno spazio ed un tempo assoluti, che esistono indipendentemente da ogni oggetto esterno. Grazie a queste due entità astratte, le leggi della meccanica classica mantenevano la loro validità.

Relatività galileiana ed elettromagnetismo

Il concetto di relatività fu introdotto nel XVII secolo da Galileo Galilei, che notò come non fosse possibile, tramite esprimenti di meccanica, decidere sullo stato di moto di un sistema inerziale rispetto allo spazio assoluto. In termini fisici, si dice che la meccanica classica è invariante per le trasformazioni di Galileo.

Fino alla descrizione di Maxwell sull'elettromagnetismo (EM), il quadro della meccanica classica era soddisfacente ed in perfetto accordo con i dati sperimentali, il che indirettamente confermava la validità delle trasformazioni di Galileo per passare da un riferimento inerziale ad un altro.
In particolare, era considerata valida la composizione delle velocità, secondo la quale un corpo in movimento con velocità v, misurata in un sistema O, quando viene osservata in un sistema O', in moto con velocità u rispetto ad O, viene trovata pari a u + v.

Un tipico esempio è il viaggiatore che cammina su un treno in movimento: se corre alla stessa velocità del treno, ma in direzione opposta, si trova ad essere fermo rispetto al marciapiede.

L'estensione della meccanica ai fenomeni luminosi era stata fatta introducendo il concetto di etere, un mezzo meccanico che permetteva la propagazione della luce, allo stesso modo con cui l'aria permette quella del suono. Veniva inoltre abitualmente proposto che l'etere rappresentasse quel sistema di riferimento assoluto nel quale era valida la legge d'inerzia.

Attorno al 1850, si trovò che la velocità di propagazione dell'energia connessa con la corrente elettrica era uguale, entro gli errori sperimentali, alla velocità della luce.
Su queste basi si mosse James Clerk Maxwell che formulò la sua descrizione dei fenomeni EM (equazioni di Maxwell), in cui compariva un parametro c, interpretabile come velocità dell'onda EM.
Questi due risultati portarono alla conclusione che esistono onde EM, tra cui la luce, che si propagano con velocità c in un sistema di riferimento, l'etere, ora diventato un fluido descritto dai campi elettrico e magnetico e supposto a riposo nello spazio assoluto.

Però, effettuando una trasformazione di Galileo, le equazioni di Maxwell venivano ad assumere una forma diversa, dipendente dalla velocità del sistema inerziale considerato, cioè tali equazioni non erano invarianti per trasformazioni di Galileo. Questo significava che si poteva misurare la velocità di un sistema inerziale rispetto all'etere effettuando esperimenti di EM. Inoltre, dalla composizione delle velocità, c poteva assumere valori diversi a seconda del sistema inerziale in cui veniva fatta la misura, come qualunque altro tipo di velocità.

Esperimenti cruciali

Dovevano quindi esistere esperimenti di EM in grado di mostrare lo stato di moto del sistema di riferimento rispetto all'etere, assoluto (infatti le equazioni di Maxwell dovevano valere solo nell'etere!).
Ma l'esperimento di Michelson-Morley mostrò che al limite dell'errore di misura, la velocità del nostro riferimento terrestre era nulla rispetto all'etere, anche ripetendo l'esperimento 6 mesi dopo, con la Terra in moto in direzione opposta.
La possibilità che l'etere fosse trascinato dalla Terra (e quindi si ottenesse per questo velocità nulla) non resse all'effetto dell'aberrazione delle stelle fisse.
La prospettiva di modificare le equazioni di Maxwell per renderle invarianti non funzionò, perché Louis Fizeau mostrò che queste fornivano risultati in disaccordo con l'esperimento di trascinamento della luce nell'acqua in movimento: la composizione delle velocità non veniva rispettata dalla luce.

Era allora chiaro che la teoria dell'EM era corretta, le misure di EM non potevano mostrare alcuna velocità rispetto all'etere. Allora occorreva trovare delle nuove trasformazioni con le quali sostituire quelle di Galileo e di conseguenza modificare tutta la meccanica classica per renderla invariante rispetto a queste nuove trasformazioni.

La strada era lunga ma concettualmente semplice. Per questo motivo, Einstein non considerò mai la relatività speciale come un punto d'onore: disse invece che chiunque vi sarebbe prima o poi giunto, solo considerando le evidenze sperimentali.
Il titolo originale del lavoro di Einstein avrebbe dovuto essere teoria degli invarianti, proprio a sottolineare la ricerca di equazioni che non cambiavano forma nel passaggio tra sistemi diversi. Fu Max Plank a suggerire la parola relatività, per indicare la trasformazione delle leggi fisiche tra osservatori in moto relativo tra loro.

Punto di partenza e prime conseguenze

L'assioma proposto da Einstein, compatibile con le osservazioni sperimentali, fu il seguente:

la velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi inerziali ed è pari a c.

Questo significa anche la fine del concetto di etere, non solo come mezzo che trasmette la luce (sostituito dal campo EM), ma anche come riferimento assoluto: se ogni osservatore inerziale può dire a ragione di essere fermo rispetto all'etere, cade definitivamente il concetto di spazio assoluto.
Ma anche il concetto di simultaneità perde la sua assolutezza; infatti, se la velocità della luce è finita ed è la stessa per ogni osservatore, due eventi simultanei in un sistema inerziale non lo sono più se osservati da un altro sistema.

Se due lampadine sono accese allo stesso istante, un osservatore O' posto alla stessa distanza da entrambe, considererà i due eventi come simultanei.

Ma un osservatore O' in moto con velocità v rispetto ad O, essendo c uguale per entrambi, vedrà accendersi prima la lampadina verso cui si sta muovendo, essendo minore la distanza che la luce deve percorrere; solo dopo, vedrà accendersi l'altra lampadina.

La simultaneità tra eventi viene quindi a dipendere dal sistema inerziale da cui si osserva; per questo, anche il tempo assoluto viene a cadere.

Anche se la simultaneità diventa relativa, la consequenzialità non viene toccata: cioè la relazione di causa-effetto è sempre valida (l'ordinamento temporale viene mantenuto).

Le nuove trasformazioni

Le trasformazioni che rendono invarianti le equazioni di Maxwell, sono indicate con l'espressione trasformazioni di Lorentz (TL) e si ottengono in modo concettualmente semplice applicando la costanza della velocità della luce. Rimandando alla voce specifica per i dettagli, è importante comunque osservare che:

le TL non trattano separatamente il tempo e lo spazio, ma che questi vengono invece correlati tra loro;
tali nuovi effetti dipendono da un termine β definito come β² = v² / c² che diventa trascurabile per velocità non confrontabili con quelle della luce;
- Viene anche definito per comodità il termine γ = (1-β²)^-1/2
al limite di piccole velocità, le TL si riducono alle già note di Galileo, spiegando perché negli esperimenti di meccanica classica non si possano misurare differenze.

Come diretta conseguenza, le TL portano a due importanti modifiche, poiché introducono il concetto di relatività in grandezze normalmente considerate assolute:

Contrazione delle lunghezze
- La lunghezza L di un corpo in movimento non è invariante, ma subisce una contrazione nella direzione del moto, data dalla formula

L = L₀⋅(1-β²)^1/2

La lunghezza massima del corpo L₀ è misurata nel sistema in cui il corpo è in quiete e viene chiamata lunghezza propria.

Dilatazione dei tempi

L'intervallo di tempo Δt tra due eventi non è invariante, ma subisce una dilatazione se misurato da un orologio in moto rispetto agli eventi. Tale dilatazione è data dalla formula

         Δt₀ 

Δt = ––––––––  = γ⋅Δt₀ 

      (1-β²)^1/2

La durata minima dell'intervallo di tempo è misurata da un orologio solidale con gli eventi; tale intervallo Δt₀ viene chiamato tempo proprio.

Si noti come in entrambi i casi le formule si riducano all'uguaglianza per velocità piccole rispetto a c. Si noti come questo limite, chiamato limite classico, possa essere concettualmente ottenuto sia per v piccolo che per c→∞; infatti, una velocità infinita della luce, significa poter stabilire una simultaneità assoluta e quindi un ritorno alla visione classica. Il limite classico è una condizione necessaria della teoria, poiché per piccoli valori di β gli effetti relativistici non devono essere misurabili, per rendere conto dell'ottimo accordo sperimentale della visione classica.

Note

Nessun corpo può assumere velocità uguali o superiori a c; le trasformazioni di Lorentz per v ≥ c non sono definite (i valori sotto radice diventano nulli o negativi).\n*La contrazione delle lunghezze non deve essere vista come se il metro variasse la sua dimensione o come se l'orologio segnasse un tempo diverso. Le misure infatti saranno differenti solo se effettuate da un altro osservatore in moto relativo: la lunghezza del proprio metro e la durata del proprio minuto è la stessa per tutti gli osservatori.\n**La teoria ammette questi effetti come conseguenza della peculiarità di c e del moto relativo e quindi come conseguenza del nostro modo di guardare le cose. La lunghezza propria è la più grande fra tutte le lunghezze relative ai punti di vista, ma non per questo è più reale delle altre. Sarebbe come notare che più lontani siamo da un oggetto e più piccolo questo ci sembra: niente ci può dire se l'oggetto si rimpicciolisce veramente o se sia un effetto della distanza. Non quindi senso domandarsi se si tratti di un fenomeno reale o apparente.\n*Le trasformazioni di Lorentz trattano il tempo alla stregua di una qualunque coordinata spaziale; dato che un evento può essere sempre individuato tramite la sua posizione nello spazio e lungo l'asse temporale, il formalismo relativistico può essere formulato in uno spazio a 4 dimensioni (spazio-tempo) di Minkowsky, nel quale le prime 3 coordinate coincidono con le normali coordinate spaziali e la 4 è rappresentata dal tempo. Un evento è individuato quindi dai 4 numeri (r, ct) = (x, y, z, ct).

Paradossi

Sono indicati come paradossi relativistici alcuni ipotetici esperimenti che sembrano portare a due soluzioni incompatibili tra loro. Vengono usualmente risolti individuando dove la meccanica relativistica si scosta da quella classica ed applicando la costanza di c e le sue conseguenze. Vedere la corrispondente voce per alcuni esempi, tra i quali il celeberrimo paradosso dei gemelli.

Cinematica relativistica

Tutto la meccanica classica venne modificata per renderla invariante per trasformazioni di Lorentz, ottenendo risultati diversi dalla visione classica; è comunque sempre valido il limite classico. Di seguito sono riportati due casi notevoli, ottenuti sempre applicando le trasformazioni di Lorentz.

Legge di trasformazione degli angoli\n**Si ricava che la nozione di parallelismo tra due rette è invariante, mentre non lo è quella di perpendicolarità. L'angolo tra due vettori è invariante solo se si trovano entrambi in un piano perpendicolare alla velocità relativa tra i due osservatori.
Legge di trasformazione delle velocità\n**Dati un sistema inerziale (1) ed un altro (2) in moto rispetto ad esso; se un corpo si muove con un una certa velocità rispetto a (2), tale velocità e quella del riferimento (2) si compongono per dare una velocità rispetto a (1), che non è la semplice somma come nel caso classico. La composizione è tale che in qualunque caso la velocità risultante non può superare c

Dinamica relativistica

Basandosi sul fatto che per velocità piccole la dinamica di Newton fornisce risultati corretti, si può supporre che valgano anche in relatività le stesse grandezze, anche se è chiaro che già la legge di inerzia deve in qualche modo essere diversa, perché altrimenti sarebbe possibile accelerare un corpo oltre la velocità della luce.
Come punto di partenza si può considerare la quantità di moto ed esaminare un caso semplice, che possa essere risolto con considerazioni di simmetria, che ci aspettiamo debbano valere anche le caso relativistico; p.es. un caso di urto elastico, nel quale si può imporre la conservazione della quantità di moto.

Massa e quantità di moto
- Si trova che la massa non è invariante, ma dipende dalla velocità del proprio sistema:
- m = m₀ ⋅ γ
- Quindi occorre sempre più forza per accelerare un corpo; la velocità della luce non può essere raggiunta, poiché occorrerebbe una forza infinita.
- La relazione tra le misure della massa in due sistemi inerziali diversi è data da:
- m' = γ(m - v⋅p/c²)
- mentre quella della quantità di moto è:
- p'= p + v((γ-1)v⋅p/v² - mγ)
Legge di inerzia
- La legge F = ma nel caso relativistico diventa:
- ma = F - (F⋅u)u/c²
Energia
- Da considerazioni sul lavoro, si dimostra che ad ogni energia E è associata una massa inerziale pari a E/c², che contribuisce alla massa relativistica totale del punto materiale. In altre parole, se forniamo energia ad un corpo, è come se aggiungessimo massa.
- Applicando considerazioni di simmetria, si trova inoltre che l'energia di un corpo a riposo non è nulla, ma è data da
- E₀ = m₀ c²
- che può essere vista come l'energia associata al corpo, per il solo motivo di avere massa. Se invece il corpo è in movimento, l'energia, che comprenderà anche quella cinetica, è:
- E = γmc²
- Per piccole velocità, questa formula può essere espressa mediante un termine che descrive l'energia cinetica ed uno relativo alla massa a riposo.

Evidenze sperimentali

La teoria della relatività speciale è oggi universalmente accettata. Gli effetti sulle lunghezze e sugli intervalli di tempo sono normalmente osservati sia in natura che nei laboratori dove particelle elementari sono accelerate a velocità vicine a quelle della luce. Una prima conferma provenne dalla maggiore vita media dei pioni generati dai raggi cosmici: questi pioni si trovano anche a livello del mare quando, considerata la loro vita media, dovrebbero decadere entro pochi metri dalla loro generazione nell'alta atmosfera. L'equivalenza tra massa ed energia è confermata dal Difetto di massa: due particelle legate tra loro hanno una massa totale minore della somma delle stesse particelle libere; la differenza di massa è contenuta nell'energia di legame.

Note finali

Venne osservato che le formule della relatività ristretta impediscono ad un corpo di raggiungere la velocità della luce, ma non vietano l'esistenza di particelle che viaggino sempre a velocità superiori a c, senza mai scendervi sotto: i cosiddetti tachioni. Pur essendo un'interpretazione interessante, al momento non c'è alcuna evidenza sperimentale di simili particelle. Anche se la relatività ristretta è normalmente considerata corretta, vi sono pochi scienziati che ancora oggi sperimentano vie alternative, normalmente basate sull'etere.