Variabile casuale Chi Quadrato

Variabile casuale Chi Quadrato

La variabile casuale Chi Quadrato (χ²) è un caso particolare della \nv.c. Gamma con a=1/2 e p=g/2 (ove g sono i gradi di libertà),\nquindi è una variabile casuale assolutamente continua. Nel caso di χ² con un grado di libertà\nla funzione di ripartizione è\n:f(x) = e^-x/2 x^-1/2 / √2π per x>0 Considerando una variabile casuale normale Z (0;σ²) di media nulla sarà:

X=Z²

Per generalizzare il numero dei gradi di libertà, si considerino n distribuzioni normali \nZ₁(0;1); Z₂(0;1); ... Z_n(0;1) \ncon media nulla e varianza unitaria indipendenti tra loro.\nSarà : χ²_n= Z₁² + Z₂² + .... +Z_n² La funzione di densità f(x) per χ²_n (chi quadro con n gradi di libertà) sarà

        e^-x/2 x^n/2-1\n f(x)= ---—---—---—---—     (0 < x < ∞)\n         2^n/2  Γ(n/2)\nDove Γ() è la funzione Gamma.

Pertanto si ottiene:\n;valore atteso: μ = g (dove g sono i gradi di libertà)\n;varianza: σ² = 2g\n;simmetria: β₁ = 8/g\n;curtosi: β₂ = 3 + 12/g\n;moda: ν₀ = g-2 (per n ≥ 3) \nIl χ² oltre a essere ricavabile sia come trasformata di una variabile casuale normale, \nsia come caso particolare della distribuzione Gamma.\nInfatti considerando la variabile casuale Gamma G(1/2 ;g/2) essa è equivalente \na un chi quadro con g gradi di libertà (χ²_g). La variabile aleatoria χ² variabile può essere assunta come misura dello scostamento tra frequenze osservate A₁, A₂, ..., A_k e frequenze teoriche \nnp1 ; np2; .... ; np1k , \nassociate a una distribuzione di probabilità ipotizzata per le k modalità (p1 ; p2;...; p1k).

Table of contents

1 Teoremi
2 Valori critici
3 Storia
4 Tabella dei valori critici

Teoremi

;Se:X₁, X₂, ..., X_n sono n v.c. χ² tra di loro indipendenti, ciascuna con g_i gradi di libertà, \n;allora: la v.c. Y = X₁ + X₂ + ... + X_n è a sua volta una v.c. χ² con g gradi di libertà, ove g = g₁ + g₂ + ... + g_n\n \n;Se:Z è una v.c. Normale standardizzata N(0,1), e X=Z²\n;allora: X è una v.c. χ² con 1 grado di libertà. Un ulteriore importante proprietà del χ² è data dal seguente teorema. Considerato un campione di n elementi estratto da una popolazione normale Z(μ;σ²) indicando con S² la distribuzione della varianza campionaria (ovvero _iΣ₁ⁿ(x_i-media)²/(n-1) ) sarà: (n-1)S²/σ² ~ χ²_n-1 nota: il simbolo ~ si legge si distribuisce come. La v.c. χ² tende ad una Normale N(g,2g). Ciò avviene però molto lentamente.\nLa convergenza può essere accelerata effettuando la trasformazione\n:z = √(2χ²) - √(2g-1)

Valori critici

\nTrattandosi di infinite variabili casuali (in quanto vengono determinate dai gradi di libertà), si è soliti rappresentare\ntabelle con valori critici al posto delle tabelle delle funzioni di ripartizione. La tabella con valori critici che segue alla fine dell'articolo, devono essere letti nel seguente modo:\n:La probabilità α che non venga superato il valore critico χ²_α,g, nel caso di g gradi di libertà. Per g>30 si ritiene che i valori critici possano essere rappresentati sufficientemente bene dalla\n: χ²_α,g = 1/2 ( z_α + √(2g-1) )² dove z_α è il valore critico per la Normale standardizzata N(0;1) (p.es. z_0,95 = 1,645)

Storia

\n Ernst Abbe, un ottico (1840 1905), fu colui che scoprì la χ²\nanalizzando la sommatoria di v.c.Normali standardizzate e indipendenti, che produce una nuova v.c., la χ² appunto.

\nVedi anche:\n* Statistica\n* variabile casuale, variabile casuale continua\n* variabile casuale t di Student, variabile casuale F di Snedecor, variabile casuale Normale (o Gaussiana)

Tabella dei valori critici