Variabile casuale F di Snedecor

La variabile casuale F di Snedecor (detta pure v.c. F di Fisher)\ndeve il suo nome a George W. Snedecor e al suo maestro Fisher.\nVenne individuata nell'ambito degli studi sulla Analisi della Varianza. La funzione di densità di probabilità è\n gg/2 mm/2 x(g-2)/2\n f(x) = -------------- -----------------\n β(g/2 , m/2) (gx+m)(g+m)/2\ndove β() è la funzione Beta e g e m sono i due gradi di libertà, che identificano la v.c. I momenti della v.c. sono dati da\n Γ(k+g/2) Γ(m/2-k)\n µk = (m/g)k ---------------------\n Γ(g/2) Γ(m/2)\ndove Γ() è la funzione Gamma. Cosicché si ricava\n;media: μ = m/(m-2) che è sempre maggiore di 1 (m>2)\n;varianza: σ² = [ 2 m² (g+m-2) ] / [ g (m-2)² (m-4) ] (m>4)\n;moda: ν0 = m/g (g-2)/(m+2) che è sempre minore di 1 (g>2)\n;simmetria: β1 = [ 2g²+3gm-6g+(m-2)² ]² [ 8(m-4) ] / [ g(m-6)²(m+g-2)³ ]\n;curtosi: β2 = [ g³m+10g³+2g²m²+16g²m-40g²+gm³+10gm²-52gm+56g+4m³-24m²+48m.32 ] [ 3(m-4) ] / [ g(m-6)(m-8)(m+g-2)² ]\n \n

Teoremi

Si hanno le seguenti caratteristiche per la v.c. F di Snedecor:\n* limm→+∞β1 = 8/g che è il valore assunto dalla v.c. Chi Quadrato\n* limm→+∞β2 = 3(g+4)/g che è il valore assunto dalla v.c. Chi Quadrato\n* limg→+∞limm→+∞β1 = 0 che è il valore assunto dalla v.c. Normale\n* limg→+∞limm→+∞β2 = 3 che è il valore assunto dalla v.c. Normale\nIn altre parole:\n* se il secondo grado di libertà è molto grande, allora la F di Snedecor tende verso una v.c. Gamma con a=p=g/2\n* se entrambi i gradi di libertà sono molto grandi, allora si può usare la Normale\nInoltre:\n*se il primo grado di libertà è pari ad uno, allora si può usare la v.c. t di Student ;Se:Xg1 e Xg2 sono v.c. Chi Quadrato con ripsettivamente g1 e g2 gradi di libertà\n;allora: Y = ]Xg1/g1] / ]Xg2/g2] è distribuita come una F di Snedecor con g1 e g2 gradi di liberta;
\nVedi anche:\n* Analisi della Varianza\n* v.c. t di Student, v.c. χ², v.c. Normale\n* statistica, probabilità\n* George W. Snedecor, Ronald Fisher\n----\n

Tavole dei valori critici

\nI valori critici sono stati calcolati con la funzione qf(p,g1,g2) di R (software) Vale la seguente relazione: qf(p,g1,g2) == 1 / qf( (1-p),g2,g1) , in parole povere: per ottenere il valore critico complementare bisogna fare il reciproco con i gradi di libertà invertiti

Tavola per valori critici al 95%

\n +-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+\n | \\ g1| |\n | \\ | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 60 ∞ |\n |g2 \\ | |\n +-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+\n | 1 | 161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88 245.95 248.01 250.10 252.20 254.31 |\n | 2 | 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.43 19.45 19.46 19.48 19.50 |\n | 3 | 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.70 8.66 8.62 8.57 8.53 |\n | 4 | 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.86 5.80 5.75 5.69 5.63 |\n | 5 | 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.62 4.56 4.50 4.43 4.36 |\n | 6 | 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 3.94 3.87 3.81 3.74 3.67 |\n | 7 | 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.51 3.44 3.38 3.30 3.23 |\n | 8 | 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.22 3.15 3.08 3.01 2.93 |\n | 9 | 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.01 2.94 2.86 2.79 2.71 |\n | 10 | 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.85 2.77 2.70 2.62 2.54 |\n | 11 | 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.72 2.65 2.57 2.49 2.40 |\n | 12 | 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.62 2.54 2.47 2.38 2.30 |\n | 13 | 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.53 2.46 2.38 2.30 2.21 |\n | 14 | 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.46 2.39 2.31 2.22 2.13 |\n | 15 | 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.40 2.33 2.25 2.16 2.07 |\n | 16 | 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.35 2.28 2.19 2.11 2.01 |\n | 17 | 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.31 2.23 2.15 2.06 1.96 |\n | 18 | 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.27 2.19 2.11 2.02 1.92 |\n | 19 | 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.23 2.16 2.07 1.98 1.88 |\n | 20 | 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.20 2.12 2.04 1.95 1.84 |\n | 25 | 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.09 2.01 1.92 1.82 1.71 |\n | 30 | 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.01 1.93 1.84 1.74 1.62 |\n | 60 | 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.84 1.75 1.65 1.53 1.39 |\n |100 | 3.94 3.09 2.70 2.46 2.31 2.19 2.10 2.03 1.97 1.93 1.77 1.68 1.57 1.45 1.28 |\n | ∞ | 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.67 1.57 1.46 1.32 1.00 |\n +-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+

Tavola per valori critici al 97,5%

\n +-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+\n | \\ g1| |\n | \\ | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 60 ∞ |\n |g2 \\ | |\n +-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+\n | 1 | 647.79 799.50 864.16 899.58 921.85 937.11 948.22 956.66 963.28 968.63 984.87 993.10 1001.4 1009.8 1018.3 |\n | 2 | 38.51 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33 39.36 39.37 39.39 39.40 39.43 39.45 39.46 39.48 39.50 |\n | 3 | 17.44 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.42 14.25 14.17 14.08 13.99 13.90 |\n | 4 | 12.22 10.65 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90 8.84 8.66 8.56 8.46 8.36 8.26 |\n | 5 | 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62 6.43 6.33 6.23 6.12 6.02 |\n | 6 | 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46 5.27 5.17 5.07 4.96 4.85 |\n | 7 | 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.76 4.57 4.47 4.36 4.25 4.14 |\n | 8 | 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.30 4.10 4.00 3.89 3.78 3.67 |\n | 9 | 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96 3.77 3.67 3.56 3.45 3.33 |\n | 10 | 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72 3.52 3.42 3.31 3.20 3.08 |\n | 11 | 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53 3.33 3.23 3.12 3.00 2.88 |\n | 12 | 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37 3.18 3.07 2.96 2.85 2.72 |\n | 13 | 6.41 4.97 4.35 4.00 3.77 3.60 3.48 3.39 3.31 3.25 3.05 2.95 2.84 2.72 2.60 |\n | 14 | 6.30 4.86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.29 3.21 3.15 2.95 2.84 2.73 2.61 2.49 |\n | 15 | 6.20 4.77 4.15 3.80 3.58 3.41 3.29 3.20 3.12 3.06 2.86 2.76 2.64 2.52 2.40 |\n | 16 | 6.12 4.69 4.08 3.73 3.50 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99 2.79 2.68 2.57 2.45 2.32 |\n | 17 | 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92 2.72 2.62 2.50 2.38 2.25 |\n | 18 | 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.10 3.01 2.93 2.87 2.67 2.56 2.44 2.32 2.19 |\n | 19 | 5.92 4.51 3.90 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82 2.62 2.51 2.39 2.27 2.13 |\n | 20 | 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77 2.57 2.46 2.35 2.22 2.09 |\n | 25 | 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.61 2.41 2.30 2.18 2.05 1.91 |\n | 30 | 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51 2.31 2.20 2.07 1.94 1.79 |\n | 60 | 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27 2.06 1.94 1.82 1.67 1.48 |\n |100 | 5.18 3.83 3.25 2.92 2.70 2.54 2.42 2.32 2.24 2.18 1.97 1.85 1.71 1.56 1.35 |\n | ∞ | 5.02 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05 1.83 1.71 1.57 1.39 1.00 | \n +-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+\n \n

Tavola per valori critici al 99%

+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+\n | \\ g1|                                                                                                          |\n |  \\  |    1      2      3      4      5      6      7      8      9     10     15     20     30     60      ∞   |\n |g2 \\ |                                                                                                          |\n +-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+\n |  1  | 4052.2 4999.5 5403.4 5624.6 5763.6 5859.0 5928.4 5981.1 6022.5 6055.8 6157.3 6208.7 6260.6 6313.0 6365.9 |\n |  2  |  98.50  99.00  99.17  99.25  99.30  99.33  99.36  99.37  99.39  99.40  99.43  99.45  99.47  99.48  99.50 |\n |  3  |  34.12  30.82  29.46  28.71  28.24  27.91  27.67  27.49  27.35  27.23  26.87  26.69  26.50  26.32  26.13 |\n |  4  |  21.20  18.00  16.69  15.98  15.52  15.21  14.98  14.80  14.66  14.55  14.20  14.02  13.84  13.65  13.46 |\n |  5  |  16.26  13.27  12.06  11.39  10.97  10.67  10.46  10.29  10.16  10.05   9.72   9.55   9.38   9.20   9.02 |\n |  6  |  13.75  10.92   9.78   9.15   8.75   8.47   8.26   8.10   7.98   7.87   7.56   7.40   7.23   7.06   6.88 |\n |  7  |  12.25   9.55   8.45   7.85   7.46   7.19   6.99   6.84   6.72   6.62   6.31   6.16   5.99   5.82   5.65 |\n |  8  |  11.26   8.65   7.59   7.01   6.63   6.37   6.18   6.03   5.91   5.81   5.52   5.36   5.20   5.03   4.86 |\n |  9  |  10.56   8.02   6.99   6.42   6.06   5.80   5.61   5.47   5.35   5.26   4.96   4.81   4.65   4.48   4.31 |\n | 10  |  10.04   7.56   6.55   5.99   5.64   5.39   5.20   5.06   4.94   4.85   4.56   4.41   4.25   4.08   3.91 |\n | 11  |   9.65   7.21   6.22   5.67   5.32   5.07   4.89   4.74   4.63   4.54   4.25   4.10   3.94   3.78   3.60 |\n | 12  |   9.33   6.93   5.95   5.41   5.06   4.82   4.64   4.50   4.39   4.30   4.01   3.86   3.70   3.54   3.36 |\n | 13  |   9.07   6.70   5.74   5.21   4.86   4.62   4.44   4.30   4.19   4.10   3.82   3.66   3.51   3.34   3.17 |\n | 14  |   8.86   6.51   5.56   5.04   4.69   4.46   4.28   4.14   4.03   3.94   3.66   3.51   3.35   3.18   3.00 |\n | 15  |   8.68   6.36   5.42   4.89   4.56   4.32   4.14   4.00   3.89   3.80   3.52   3.37   3.21   3.05   2.87 |\n | 16  |   8.53   6.23   5.29   4.77   4.44   4.20   4.03   3.89   3.78   3.69   3.41   3.26   3.10   2.93   2.75 |\n | 17  |   8.40   6.11   5.18   4.67   4.34   4.10   3.93   3.79   3.68   3.59   3.31   3.16   3.00   2.83   2.65 |\n | 18  |   8.29   6.01   5.09   4.58   4.25   4.01   3.84   3.71   3.60   3.51   3.23   3.08   2.92   2.75   2.57 |\n | 19  |   8.18   5.93   5.01   4.50   4.17   3.94   3.77   3.63   3.52   3.43   3.15   3.00   2.84   2.67   2.49 |\n | 20  |   8.10   5.85   4.94   4.43   4.10   3.87   3.70   3.56   3.46   3.37   3.09   2.94   2.78   2.61   2.42 |\n | 25  |   7.77   5.57   4.68   4.18   3.85   3.63   3.46   3.32   3.22   3.13   2.85   2.70   2.54   2.36   2.17 |\n | 30  |   7.56   5.39   4.51   4.02   3.70   3.47   3.30   3.17   3.07   2.98   2.70   2.55   2.39   2.21   2.01 |\n | 60  |   7.08   4.98   4.13   3.65   3.34   3.12   2.95   2.82   2.72   2.63   2.35   2.20   2.03   1.84   1.60 |\n |100  |   6.90   4.82   3.98   3.51   3.21   2.99   2.82   2.69   2.59   2.50   2.22   2.07   1.89   1.69   1.43 |\n | ∞   |   6.63   4.61   3.78   3.32   3.02   2.80   2.64   2.51   2.41   2.32   2.04   1.88   1.70   1.47   1.00 |\n +-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+\n
	 
	 
	 
	 



	 
	 
	 
	 



Websites: 
Tagoror |
Guajara |
Tacoronte Guia |
Todo Gomera |
Deranet |
Radioaficionados |
Cinebso |
Mi Buscador



	 
	 
Enciclopedia On Line: Questa pagina e disponibile con licenza
	 GNU FDL.