Variabile casuale Normale

Variabile casuale Normale

La variabile casuale Normale (detta pure variabile casuale Gaussiana\no curva di Gauss o curva degli errori)\nè una variabile casuale continua con due parametri, indicata\ntradizionalmente con\n:N( μ ; σ² )\nSi tratta di una delle più importanti variabili casuali,\nsoprattutto continue,\nin quanto è, o la base di partenza per le altre v.c. \n(vedasi la Chi Quadrato, la t di Student,\ne la F di Snedecor)\no la v.c. alla quale altre possono essere approssimate in certe situazioni limite \n(vedasi la Bernoulliana e la Poissoniana\ne il Teorema del Limite Centrale).

Table of contents

1 Metodologia

1.1 Teoremi

2 Storia

Metodologia

La Gaussiana è la seguente funzione di densità di probabilità

f(x) = e^{-(x-μ)²/(2σ²)} / σ √(2Π)

con -∞ < x +∞

La funzione generatrice dei momenti è

g(t) = exp( μt + σ²t²/2 )

Il valore atteso e la varianza (che sono gli unici due parametri della v.c.) sono appunto μ e σ².

Non essendo possibile indicare in modo esplicito l'integrale della f(x), è necessario rendere in forma tabellare i valori della funzione di ripartizione (vedasi funzione di ripartizione). I più usati sono:

68,3% = P{ μ -      σ < X <  μ +      σ }
95,0% = P{ μ - 1,96 σ < X <  μ + 1,96 σ }
95,5% = P{ μ - 2    σ < X <  μ + 2    σ }
99,0% = P{ μ - 2,58 σ < X <  μ + 2,58 σ }
99,7% = P{ μ - 3    σ < X <  μ + 3    σ }

Essendo f(x) una funzione simmetrica è sufficiente conoscere la funzione di ripartizione dei valori positivi, per conoscere pure quella dei valori negativi (e viceversa).

Dalla v.c.Normale si possono ottenere altre v.c. come la t di Student, la Chi Quadrato e la F di Snedecor.

Teoremi

;Se:X₁, X₂, ..., X_n sono n v.c. Normali tra di loro indipendenti, ciascuna con valore atteso μ_i e varianza σ²_i, \n;allora: la v.c. Y = α₁X₁ + α₂X₂ + ... + α_nX_n è a sua volta una v.c. Normale con valore atteso μ = α₁μ₁ + α₂μ₂ + ... + α_nμ_n e varianza σ² = α²₁μ₁ + α²₂μ₂ + ... + α²_nμ_n

Storia

\nKarl Friedrich Gauss descrisse la Normale studiando il modo dei corpi celesti.\nAltri la usavano per descrivere fenomeni anche molto diversi come\ni colpi di sfortuna nel gioco d'azzardo o\nla distribuzione dei tiri attorno ai bersagli.\nDa qui i nomi curva di Gauss e curva degli errori: Nel 1835 Lambert-Adolphe-Jacques Quételet pubblicò uno scritto\nnel quale, fra le altre cose, c'erano i dati riguardanti la misura del torace di soldati scozzesi\ne la statura dei militari di leva francesi. Quételet mostrò come\ntali dati si distribuivano come una Gaussiana, ma non andò oltre. Fu Francis Galton a intuire che la curva in questione poteva essere\napplicata a fenomeni anche molto diversi, e non solo ad "errori".\nQuesta di idea di curva per descrivere i "dati" in generale portò\nad usare il termine Normale, in quanto rappresentava\nuno substrato normale ovvero la norma per qualsiasi distribuzione\npresente in natura. Nel tentativo di confrontare curve diverse, in mancanza di strumenti adeguati,\nGalton si limitò ad usare due soli parametri: la media e la varianza,\ndando così inizio alla statistica parametrica. \n----\nVedi anche:\n* /Funzione di ripartizione\n* Carl Friedrich Gauss\n* v.c. Binomiale e Poissoniana\n* v.c. χ², t di Student, F di Snedecor\n* variabile casuale, variabile casuale continua\n* probabilità\n* statistica\n* integrale di Eulero (vedi anche Pierre Simon Laplace)