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La formula di base è:
1 n
σ² := --- Σ (xi-μ)²
n i=1
dove μ rappresenta la media aritmetica dei valori xi.Nel caso si tratti di valori ponderati, allora la definizione diventa:
k
σ² := Σ fj·(xj-μ)²
j=1
(in questo caso μ è la media aritmetica ponderata).La varianza è un indicatore di dispersione in quanto è nulla solo nei casi in cui tutti i valori sono uguali tra di loro (e pertanto uguali alla loro media) e cresce con il crescere delle differenze reciproche dei valori.
Trattandosi di una somma di valori (anche negativi) al quadrato, è evidente che la varianza non sarà mai negativa.
La diseguaglianza di Cebicev garantisce che almeno il 75% dei valori sono compresi tra μ-2σ e μ+2σ e almeno l'88% tra μ-3σ e μ+3σ.
Esempio
Se abbiamo i seguenti cinque valori: -9,-1,+1,+7,+22
ricaviamo che hanno la media
μ = (-9-1+1+7+22)/5 = 20/5 = 4
e la varianza
σ² = [ (-9-4)²+(-1-4)²+(1-4)²+(7-4)²+(22-4)² ]/5
= [(-13)²+(-5)²+(-3)²+3²+18²]/5
= [169+25+9+9+324]/5 = 536/5
= 107,2
pertanto la deviazione standard dei suddetti cinque valori è:
σ = √107,2 = 10,35374
Vedasi pure: covarianza