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| Table of contents |
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2 2つの円 3 座標と円 4 円の幾何学 5 一般化 6 関連項目 |
円周上の2点A、Bがあるとき、線分ABを弦といい、弦ABと表記する。特に円の中心を通る弦を円の直径という。直径の長さは半径の2倍となる。直径の長さと円周の長さの比はどの円でも一定の値をとり、これを円周率といい普通πで表す。円の半径を r とすると、円周の長さは 2πr で表される。また、円の面積は、πr2 で表すことができる。同じ長さの周をもつ平面図形のなかで、円がもっとも面積が大きくなる。
円の性質
弦によって円周は2つの部分に分けられ、これを弧または円弧という。弧のうち、長さが大きい方の弧を優弧、短い方の弧を劣弧という。弦ABの劣弧は
弧ABと表記する。優弧の表記は、その弧上にある点Pを用いて弧APBのようにする。円Oが弦ABを持つとき、線分OA、線分OBとと弧ABとで囲まれた図形を扇形という。また、∠AOBを弧ABに対する中心角という。中心角とそれに対する弧の長さは比例する。同様に中心角とそれに対する扇形の面積も比例する。
円O上に3点A、B、Pがあるとき、∠APBを弧ABの円周角という。弧ABに対する円周角は常に一定の大きさをもち、中心角AOBの1/2となる。
円周と直線とがただ1つの共通点を持つとき、その直線を円の接線といい、共通点を接点という。接点を通り、接線に垂直な直線を法線という。円の法線は中心を通る。円の接線とその接点を通る弦との作る角は、その角の中にある弦に対する円周角に等しい（接弦定理）。たとえば、下図でATが接線ならば、∠BAT = ∠APBとなる。接弦定理は逆も成立する。
半径が異なる2つの円の位置関係は次のように分けられる。
デカルト座標で、点(x, y)を中心とする半径rの円は、
二つの点（焦点と呼ばれる）からの距離の和が一定であるような点の軌跡を楕円という。楕円は円をつぶしたような形をしている。2つの円
座標と円
と表される。円の幾何学
三角形や円に関する事柄を扱う幾何学（相似や面積を用いない）は円論と呼ばれて、古来非常に深く研究されてきた。最も平面幾何学らしい幾何学とも呼ばれる。
九点円の定理
三角形の
は全て同一円上にある。この円のことを九点円と呼ぶ。六点円の定理
三角形のそれぞれの頂点から下ろした垂線の足から他の二辺に下ろした、合計６個の垂線の足は、同一円周上にある、という定理。中学で習う円の性質だけで証明することができるが、かなり難解。
パスカルの定理
円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。更に拡張して、二次曲線上に異なる六つの点P1～P6をとると、直線P1P2とP4P5の交点Q1、P2P3とP5P6の交点Q2、P3P4とP6P1の交点Q3は同一直線上にある。また、
Piにおける接線と
Pjにおける接線の交点をRijとすると、３直線R12R45、R23R56、R34R61は一点で交わる。一番初めの、円に内接する六角形の証明は、うまく補助円を書くことで、円の性質と三角形の相似だけですることができる。
フォイエルバッハの定理
三角形の内接円は、九点円に内接する。一般化
3次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合を球面という。内部を含めた球面を球という。もっと一般に、nを自然数とするとき、n+1次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合のことを、n次元球面といい、Sn と書く。円は1次元球面である。