ベクトルとは、線型代数学の根底をなす概念の一つである。

最もおおざっぱな言い方では、ベクトルとは大きさと向きを持ったもので、スカラーに対して使われる言葉であり、平面上や空間内の矢印でイメージされる。例えば、速度や加速度、力はベクトルである。この概念は、自然に数ベクトルへと導かれる。

線型代数学では、矢印のベクトルや数ベクトルはもっと抽象化されて、ベクトルとは単にベクトル空間の元のことになる。つまりベクトルには和とスカラー倍が定義されていることだけが問題とされる。しかし、基底を媒介にして、一般的なベクトルは数ベクトルとして扱うことが出来る： つまり、

を基底として、任意のベクトルは基底の1次結合として

と同一視することで、基底の定められたベクトルは数ベクトルとして扱える。

この記事では、主に数ベクトル（空間）について扱い、部分的に一般のベクトル空間への抽象化に言及する。

Table of contents

1 数ベクトル 1.1 例 2 数ベクトルの和、差 2.2 例 3 数ベクトルのスカラー倍 3.3 例 4 数ベクトルの内積 4.4 例

数ベクトル

例

横に並べた数ベクトルを行ベクトル。縦に並べた数ベクトルと列ベクトルと呼ぶ。上の例では、 は行ベクトル、 は列ベクトルである。

数ベクトルは n*1 もしくは 1*n の行列でもある。

数ベクトルの要素が全て 0 の数ベクトルを零ベクトルと呼ぶ。零ベクトルでない数ベクトルを非零ベクトルと呼ぶ。

数ベクトルはしばしば矢印として表現される。

数ベクトルの和、差

同じ次元の数ベクトルの和（差）を、要素同士の和（差）と定める。

例

がどんなものであっても

数ベクトルのスカラー倍

c を普通の数（スカラー）とする。ベクトルのそれぞれの要素を c 倍することで、スカラー倍が定義できる。

例

数ベクトルの内積

同じ次元の数ベクトルの内積を、要素同士の積の総和と定める。

と  の内積を  と表現する。

例