フェルマー数

の形をした数をフェルマー数という。ただし、n は自然数。この名称は、この形を持つ自然数について研究したピエール・ド・フェルマーに因む。フェルマー数は、

と続く。フェルマー数が素数であるとき、フェルマー素数という。4番目までは素数なので、フェルマーは、すべてのフェルマー数はフェルマー素数であると予想したが、5番目のフェルマー数は上のように分解できることを 1732年にオイラーが示し、反例が与えられた。オイラーはフェルマー数の因数はの形をしている事を利用して素因数分解を行った。
現在以降のフェルマー数の中には、素数となるようなものは見つかっていない。

また、フェルマー数には次のような関係がある。

フェルマー数はまた、正多角形の定規とコンパスによる作図の問題とも関係がある。カール・フリードリヒ・ガウスは、正 n 多角形が作図可能になる必要十分条件を求めたが、それは「n が 2 のべきであるか、異なるフェルマー素数の積と 2 のべきの積であるとき」というものである。