ガウスの定理

ガウスの定理

ガウスの定理は、ベクトル場の発散を、その場によって定義される流れの面積分に結び付けるものである。発散定理とも呼ばれる。1762年にラグランジュによって発見され、その後ガウス（1813年）、ジョージ・グリーン（1825年）、オストログラズキー（Mikhail Vasilievich Ostrogradsky, 1831年）によってそれぞれ独立に再発見された。オストログラズキーはまたこの定理に最初の証明を与えた人物でもある。

数式をもちいて述べると次のようになる。まず、R³ で定義された滑らかなベクトル場 F = (F¹, F², F³) に対して F の発散 divF を divF = ∂F¹/∂x + ∂F²/∂y + ∂F³/∂z で定義する。V を R³ において滑らか（ここでは C¹ 級でよい）な境界 ∂V をもつ有界な領域（= 連結開集合）とし、F を V の閉包で定義されている滑らかなベクトル場とすると、

が成り立つ。ここで、n は V の外向き単位法ベクトルとする。なお、定理が成り立つためには ∂V が区分的に C¹ 級であれば十分である。

この定理は div という演算が発散（あるいは湧出量）と呼ばれる所以でもある。右辺は領域 V から流れ出す量であり、それが全ての発散を合わせたものに等しくなっている。

この定理は、一般的なストークスの定理から導くことができる。