代数学の基本定理
代数学の基本定理とは、「複素数係数の任意の代数方程式
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は複素数の中に重解を含めてn個の解を持つ」という定理のことである。1799年、カール・フリードリヒ・ガウスによって初めて証明が与えられたが、この証明には現代の観点では不備がある。ガウスはこの定理に三つの異なる証明を与えた。現在ではさらに多くの証明が知られている。
という方程式の解 i (虚数単位、正確には ±i )を実数に付け加えるだけで、どんな代数方程式（しかも複素数係数の）もその内に解を持つようになるというのは、実際驚くべき事実である。
もっともよく知られている初等的な証明は、大体次のようにして行われる。
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は、x を十分大きくすると、f(x) もいくらでも大きくできる。コンパクト集合上の連続関数が最小値をもつことから、f(x) が最小値をもつことが分かる。その最小値を c として、c が零でないとすると、x を少し変えるだけで、より小さな f(x) が存在することが分かり、c が最小値であることに反する。これで証明が終わる。
