オイラーの等式

オイラーの等式とは、オイラーに帰せられる、

という等式のことである。数学において重要な数である円周率()とネピア数()を、全く起源が異なるにもかかわらず結びつけるものである。しかも式の中には 0, 1, i という極めて基本的な数しか現われない。この式は次のオイラーの公式から得られる。

確かに θ として π を代入すると上の等式になっている。この公式は、全く起源の異なる指数関数と三角関数が複素数の世界では密接に結びついていることを表す。三角関数の加法定理は、この式から指数関数の e^ae^b = e^a+b に対応していることが分かる。さらに

と置き換えることで、初等関数は全て指数関数の一部であるとみなすこともできる。

この公式ははじめ、ロジャー・コーツ (Roger Cotes) によって1714年に証明されたが、それは曖昧なものだった。その後オイラーによって1748年に再発見され、有名になった。

上記のような予想外の調和・連関を明らかにすることから、オイラーの等式は、"人類の至宝"と呼ばれることもある。