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このアルゴリズムはカール・フリードリヒ・ガウスとアドリアン＝マリ・ルジャンドルがそれぞれ別個に研究したものである。これは二つの数値の算術幾何平均を求めるために、それぞれの数値を算術平均（相加平均）と幾何平均（相乗平均）で置き換えていくものである。
| Table of contents |
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アルゴリズム
これによる円周率の計算方法は以下の通りである。初期値の設定
とする。
反復式
a,bが希望する精度（桁数）になるまで以下の計算を繰り返す。π の算出
円周率 π は,a、b、tを用いて以下のように近似される。
この反復プロセスは自然収束し、反復1回について前に正常だった桁の2倍の桁の数値までが収束する。ガウス自身、この式で4回まで反復を行い12桁まで正しいことを確認したことが知られている。