環論は環について研究する代数学の一分野である。形式的に、可換環論と非可換論に分けることができる。代数幾何学や整数論とは直接の関係があるが、その他数学のほとんどの分野で広く応用されている。

この記事では、環, 単位的環(ユニタリー環), 可換環と非可換環, 零元, 整域, 部分環, 剰余環, 環の凖同型・同型, 単項イデアル環・単項イデアル整域, ユークリッド整域, 単元(可逆元), 単元群（単数群）, 既約元について順次説明している。

Table of contents

1 定義 2 例 3 定義からすぐに出る結果 4 環に関する概念 5 関連記事

定義

環 R とは、加法 (+) についてアーベル群であり、更に乗法 (*) に関して任意の R の元 a, b, c が次の性質を持つものである。

（結合法則）a * (b * c) = (a * b) * c

（左分配法則）a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

（右分配法則） (a + b) * c = (a * c) + (b * c)

a * 1 = 1 * a = a

R が乗法について可換であるとき: すなわち R の任意の元 a,bが

a * b = b * a

演算の記号 * は普通省略されて、a * b は、ab と書かれる。

例

• 環論の歴史的な動機付けとなった例は整数全体のなす環である。
• 有理数、実数、複素数はそれぞれ環をなす。実際、それらは体でもある。
• n を正の整数とするとき、 n を法とする整数の集合 Z/nZ は環である（この記法については、以下の剰余環を参照）。
• 閉区間 [a,b] で定義されるすべての実数値連続関数のなす集合は環（さらに結合代数 (associative algebra)）をなす。演算は関数の値ごとに加法と乗法で入れる。
• 係数をある環に持つ一変数の多項式全体の集合は環をなす。
• n 次の正方行列全体の集合は環をなす。
• G がアーベル群（可換群）であるとき、 G の自己準同型は環をなす。加法は値ごとに足して入れ、乗法は準同型の合成によって入れる。
• S を集合とするとき、 S のベキ集合は次のようにして環になる (A, B ⊂ S)：
  • A + B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
  • A * B = A ∩ B

環に関する概念

R の部分集合 I が加法について閉じていて、RI := { ri | r ∈ R, i ∈ I }, IR がともに I の部分集合になるとき、I をイデアルという。x - y∈I で R に同値関係を定義する。同値類の間に自然に演算を定義できて、環になることが分かる。この環を R の I による剰余環といい、R/I と書く。環 R₁ から環 R₂ への準同型 f とは、

1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(ab) = f(a)f(b)
3. f(1) = 1'

R₁/Ker f と Im f は同型である。

整域 R について、任意の元　x, y について大きさ（正確には整列集合への写像）が決まっていて、x が零でないとき

x > 0 が成り立つ

y = qx + r で、しかも、r < x となるような R の元 q, r が存在する

a が逆元を持つとき、すなわち aa^-1 = a^-1a = 1 となるような a^-1 が存在するとき、a を単元(可逆元)という。 環の単元の全体はの乗法について群をなす。これをの単元群と呼び、またはのように書かれる。 が体である場合にはである。

零でない c に対して、ab = c が成り立つならば a または b のどちらかが必ず単元になるとき、c を既約元という。

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