関数 (数学)

関数 (function)（または写像 (mapping, map) ）とは、二つの集合 A,B が与えられたときに（ A や B はなにも数の集合には限らない）、任意の A の元 a に対してただひとつの B の元 b = f(a) を指定するような規則 f のことをいう。このような時、f を A から B への関数であるといい

と表す。A, B のことをそれぞれ始域、終域という。始域のことをまた定義域ともいう（本来独立に定義されるものである。下の「集合論的な関数の定義」の項を見よ）。また f(A) := {f(a) | a∈A} のことを値域という。これは B の部分集合である。
B' を B の部分集合とするとき、f^-1(B') := {a∈A | f(a)∈B'} を B' の逆像（または原像）という。f が逆写像をもたなくても逆像は定義できることに注意されたい。
多価関数を関数に含めることもある；その場合、f(a) は一つの元を指定せず、ある B の部分集合をなす。
関数は函数とも書かれることがあるが、これはもともと"かんすう"という言葉が英語 function の中国における音訳函数（ファンスー）から来ていることによる。

Table of contents

1 集合論的な関数の定義
 2 自明な関数
 3 関数の合成
 4 全射・単射・全単射
 5 逆関数

集合論的な関数の定義

一次関数や二次関数のグラフは誰もが馴染み深いものであろう；多くの高校生が、二次関数の頂点を求める計算を何度も繰り返すという経験を共有している。関数にはグラフがつきまとうものである。しかも、グラフは規則やら指定などといった言葉を要さずに、単純に集合としてみることができる。それを逆に利用して、グラフを使って関数を定義するというのが、集合論的な関数の定義の指針である。ただ、注意すべきなのは、二次関数 f(x) = x² が実数から実数への関数なのか、実数から0以上の実数への関数なのか、というのを区別できるようにしたい。これらを踏まえて、集合論では関数は次のように定義される；
集合 A（始域と呼ぶ）、B（終域と呼ぶ）が与えられたとき、その直積 A×B の部分集合 G_f （これをグラフと呼ぶ）ともと集合との三つの組 f = (G_f, A, B) は、ある A の元に対していくつかの B の元を指定するような対応を表す。そのためには、G_f の元 (a,b) は a が b に対応することを表す、とみればよい。pr_A(G_f) := {a | (a,b)∈G_f } を定義域とよぶ（pr は projection からとったものである。詳しくは、射影の記事をを参照）。
この G_f の元 (a,b) について、

すべての A の元 a に対してある b が少なくとも一つ存在する。（ここから始域と定義域とは一致する）
そのような b は一つしかない。　（関数が多価でない）

が成り立てば、その b を f(a) と書き、 f = (G_f, A, B) を関数という。二つの関数が等しいとは、それらを集合としてみたときに等しい、というのと同じである。
対応としてみれば、関数は一意対応と同じことである。ただしその場合、 b = f(a) は {b} = f(a) の略記であると理解する。

自明な関数

全ての A の元 a に対して a 自身を対応させると、これは A から A への関数になる。この関数を恒等写像 (identity mapping) といい、I_A と表す。
B を A の部分集合とするとき、B の元 b に対して b 自身を A の元として対応させる B から A への関数を包含写像 (inclusion mapping) という。
上と同様に B を A の部分集合とするとき、A の元 a が B の元でもあるとき値を 1 とし、B の元ではないとき値を 0 とする関数 χ_B : A → {0,1} を考えることができる。この χ_B を B の特性関数 (characteristic function) という。
とする。A の部分集合 A' について、A' の元 a に対して B の元 f(a) を対応させると、これは A' から B への関数になる。この関数を f の A' への制限写像といい、と表す。

関数の合成

関数 f, g を

とする。B が C の部分集合であるとき、A の任意の元 a に対してg(f(a)) はある一つの D の元になる。こうして決まる関数を f と g との合成関数といい、と表す。上の集合論的な定義からは

が合成関数のグラフであり、

となる。合成関数について、

が成り立つ：すなわち、関数の合成は結合法則を満たす。このことから、次のことが分かる； A からそれ自身への関数全体の集合はモノイドをなす。このモノイドを M(A) と表す。

全射・単射・全単射

f : A → B について f(A) = B が成り立つとき（つまり値域と終域が一致するとき）、 f を全射 (surjective) という。
任意の A の元 a₁,a₂ に対して、 a₁ ≠ a₂ ならば f (a₁) ≠ f (a₂) が成り立つとき、 f を単射 (injective) という。包含写像は単射である。単射の制限写像も単射である。
全射で単射な関数のことを全単射 (bijective) という。

逆関数

f をAからBへの全単射とする。f(a) = b によって、b を a に対応させると、f は全射だから、全ての b がある a に対応していて、f が単射であることからそのような a は一つしかないことが分かる。こうして作られる関数を f の逆関数（または逆写像）といい、と表す。構成から、

であることが分かる。

A からそれ自身への全単射全体の集合を S とすると、関数の合成は結合法則を満たし、また任意の全単射が逆写像を持つから、これは群をなす。このような群を S(A) と表す。特に A が有限集合の場合、A の基数（濃度、元の数のこと）を n とすると、S(A) のことを n 次対称群という。

について、f と g が合成可能で、が全単射であったとしよう。すると、任意の D の元 d に対してある C の元 c が対応していて g (c) であるから、結局 g は全射であることが分かる。さらに、f が単射でなければ、も単射でないことが容易に分かるので、（対偶をとって）仮定から、f が単射であることが分かる。

このことの逆も次の意味で成り立つ。

が全射であるとき、（選択公理を仮定すると）ある B から A への関数 r が存在して合成

は恒等写像 I_B に等しくなる。この r のことを、f の右逆写像という。

今度は

が単射であるとしよう。このとき、ある B から A への関数 l が存在して合成

は I_A に等しくなる。この l のことを、f の左逆写像という。

この二つの事実には、正確に逆が成り立つ。従って、全射と単射を次のように定義することもできる；
関数 f が右逆写像を持つとき、f を全射といい、f が左逆写像を持つとき、f を単射という。

カテゴリー論では全射と単射はこのようにして定義される。