距離空間

集合 X に、その任意の要素の対について実数を対応させる、次のような性質を持つ写像 d : X×X &rarr R が定義されている時、対 (X, d) を距離空間 (metric space) と呼ぶ。d を距離関数という。

でかつ
　（三角不等式）

ただし、はの任意の要素である。

Table of contents

1 距離空間の例
 2 開集合と閉集合
 3 関連項目

距離空間の例

実数 R に、距離を絶対値を用いてと定めることで、 (R, d) は距離空間になる。
Rⁿ に、距離をで定めると、(Rⁿ, d) は距離空間になる。この距離をユークリッド距離といい、このように距離の定められた Rⁿ のことをn次元ユークリッド空間という。上の例が1次元ユークリッド距離になっていることが分かる。日常生活や多くの自然科学で用いられる「距離」は、このユークリッド距離である。
Rⁿ にで距離を定めると、(Rⁿ, d₀) は距離空間になる。このように、同じ集合に対して定めることのできる距離は一つではない。しかし、位相空間としてみれば、この二つは同じである（たぶん）。

開集合と閉集合

距離空間 X の部分集合 O の任意の元 x について、x を中心とする十分小さな半径εの球B(x;ε)

B(x;ε) = {y∈X | d(x,y)<ε}

がまた O に含まれる時、O を開集合（open set）という。

A を X の部分集合とする。X の点 x について、どんな ε をとっても B(x;ε)∩A ≠ Ø となる時、x を A の触点（adherent point）という。A の触点全体の集合を A の閉包（closure）といい、, Cl(A) などと表す。Cl(A) = A となるような集合 A のことを閉集合（closed set）という。

開集合の補集合は閉集合であり、逆に閉集合の補集合も開集合になることが分かる。