日常用いられる数の表記は10進数である。

Table of contents

1 平易な説明 2 いくつかの進数の対応 3 自然数の表記 3.1 例 4 整数の表記 5 有理数の表記 6 符号 7 代表的なNの値

平易な説明

日常用いられている数の表記の仕方は、10進数と呼ばれるが、これは0から9までの数は一桁で表現し、10からは2桁になるという特徴を持つ。それに対応して、0から9までの10通りの数値については、それぞれ独自の文字（数字）が用意されている。10を一文字で表すことは（漢数字を用いる場合を除けば）できず、1と0の2文字を組み合わせて表記することになる。

同様に、2文字の数字を使えば、00から99まで100通りの数を表現することができる。99より大きな数を表現するには、更にもう一文字（桁）増やして、100と表記する。

このように10種の文字を並べて10通りの数を1桁で表し、100通りの数を2桁で、1000通りの数を3桁で、10のＮ乗の数をＮ桁で表すのが10進法である。10進法で書かれた数は10進数と呼ばれる。

ここで、「10」という数を2に変えると2進法に、16に変えると16進法になる。 例えば16進法では普通、0から9までの数字10種類と、AからFまでのアルファベット6種類、合わせて16種類の文字を共に数字として扱い、数を表現する。10進法では15と2桁で書き表される数も、16進法ではFと一文字で書き表せる。

逆に、8進法では0から7までの8種類の文字を数字として扱い数を表現するので、 10進法で8と書き表される数は、8進法では10と表され、2桁が必要になる。

いくつかの進数の対応

自然数の表記

を満たし、各 c_i は 0, 1, 2, 3, ..., (N-1) のいずれかであるような {c_i} を一意的に取ることができる。

実際、次のようにすれば {c_i} と r を を求めることができる（基数変換アルゴリズム）。

1. T₀ = T とし、i = 0 とする。
2. T_i を N で割った余りを c_i とし、
   T_i+1 = (T_i - c_i)/N とする。
3. T_i+1が 0 なら r = i として終了する。そうでなければ、i を 1 増やして、2に戻る。

なお、上記ではアルゴリズムが終了するまで r が幾つになるか分からないが、対数を用いればとして事前に rを求めておくこともできる。ただし、はfloor関数である。

例

整数の表記

有理数の表記

符号

代表的なNの値